Theorem snelpwi 4230

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set. (Contributed by Alan Sare, 25-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
snelpwi	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem snelpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3751	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
2		elex 2763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		snexg 4202	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
4		elpwg 3598	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} ∈ 𝒫 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({𝐴} ∈ 𝒫 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ∈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  𝒫 cpw 3590  {csn 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613

This theorem is referenced by:  unipw  4235  infpwfidom  7227  txdis  14237  txdis1cn  14238