Theorem snelpwi 4245

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set. (Contributed by Alan Sare, 25-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
snelpwi	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem snelpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
2		elex 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		snexg 4217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
4		elpwg 3613	. . 3 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} ∈ 𝒫 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({𝐴} ∈ 𝒫 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ∈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3605  {csn 3622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628

This theorem is referenced by:  unipw  4250  infpwfidom  7265  txdis  14513  txdis1cn  14514