Theorem prexg 4351

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51, but restricted to classes which exist. For proper classes, see prprc 3823, prprc1 3821, and prprc2 3822. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )

Proof of Theorem prexg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3789	. . . . . 6 |- ( y = B -> { x , y } = { x , B } )
2	1	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( y = B -> ( { x , y } e. _V <-> { x , B } e. _V ) )
3		zfpair2 4349	. . . . 5 |- { x , y } e. _V
4	2, 3	vtoclg 2883	. . . 4 |- ( B e. W -> { x , B } e. _V )
5		preq1 3788	. . . . 5 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
6	5	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = A -> ( { x , B } e. _V <-> { A , B } e. _V ) )
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 |- ( x = A -> ( B e. W -> { A , B } e. _V ) )
8	7	vtocleg 2896	. 2 |- ( A e. V -> ( B e. W -> { A , B } e. _V ) )
9	8	imp 124	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  prelpw  4355  prelpwi  4356  opexg  4370  opi2  4375  opth  4379  opeqsn  4395  opeqpr  4396  uniop  4398  unex  4589  tpexg  4592  op1stb  4626  op1stbg  4627  onun2  4639  opthreg  4705  relop  4932  acexmidlemv  6086  2oex  6708  en2prd  7110  pw2f1odclem  7138  pr2ne  7544  exmidonfinlem  7551  exmidaclem  7570  sup3exmid  9295  xrex  10275  2strbasg  13533  2stropg  13534  xpsfval  13728  prdsex  14279  prdsval  14280  xpsval  14308  struct2slots2dom  16484  structiedg0val  16486  edgstruct  16510  umgrbien  16556  upgr1edc  16567  upgr1eopdc  16569  uspgr1edc  16686  usgr1e  16687  uspgr1eopdc  16689  uspgr1ewopdc  16690  usgr1eop  16691  usgr2v1e2w  16692  vdegp1aid  16760  vdegp1bid  16761  eupth2lemsfi  16924  konigsbergvtx  16928  konigsbergiedg  16929  konigsbergumgr  16933  konigsberglem1  16934  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936  konigsberglem5  16938  konigsberg  16939  isomninnlem  17285  trilpolemlt1  17297  iswomninnlem  17306  iswomni0  17308  ismkvnnlem  17309