Theorem prexg 4325

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51, but restricted to classes which exist. For proper classes, see prprc 3802, prprc1 3800, and prprc2 3801. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )

Proof of Theorem prexg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3769	. . . . . 6 |- ( y = B -> { x , y } = { x , B } )
2	1	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( y = B -> ( { x , y } e. _V <-> { x , B } e. _V ) )
3		zfpair2 4323	. . . . 5 |- { x , y } e. _V
4	2, 3	vtoclg 2875	. . . 4 |- ( B e. W -> { x , B } e. _V )
5		preq1 3768	. . . . 5 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
6	5	eleq1d 2301	. . . 4 |- ( x = A -> ( { x , B } e. _V <-> { A , B } e. _V ) )
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 |- ( x = A -> ( B e. W -> { A , B } e. _V ) )
8	7	vtocleg 2888	. 2 |- ( A e. V -> ( B e. W -> { A , B } e. _V ) )
9	8	imp 124	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   {cpr 3690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696

This theorem is referenced by:  prelpw  4329  prelpwi  4330  opexg  4344  opi2  4349  opth  4353  opeqsn  4369  opeqpr  4370  uniop  4372  unex  4562  tpexg  4565  op1stb  4599  op1stbg  4600  onun2  4612  opthreg  4678  relop  4905  acexmidlemv  6048  2oex  6664  en2prd  7059  pw2f1odclem  7087  pr2ne  7489  exmidonfinlem  7496  exmidaclem  7515  sup3exmid  9231  xrex  10189  2strbasg  13333  2stropg  13334  prdsex  13482  prdsval  13486  xpsfval  13561  xpsval  13565  gsumprval  13612  struct2slots2dom  16033  structiedg0val  16035  edgstruct  16059  umgrbien  16105  upgr1edc  16116  upgr1eopdc  16118  uspgr1edc  16235  usgr1e  16236  uspgr1eopdc  16238  uspgr1ewopdc  16239  usgr1eop  16240  usgr2v1e2w  16241  vdegp1aid  16309  vdegp1bid  16310  eupth2lemsfi  16473  konigsbergvtx  16477  konigsbergiedg  16478  konigsbergumgr  16482  konigsberglem1  16483  konigsberglem2  16484  konigsberglem3  16485  konigsberglem5  16487  konigsberg  16488  isomninnlem  16814  trilpolemlt1  16825  iswomninnlem  16834  iswomni0  16836  ismkvnnlem  16837