Theorem prexg 4344

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51, but restricted to classes which exist. For proper classes, see prprc 3818, prprc1 3816, and prprc2 3817. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )

Proof of Theorem prexg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3785	. . . . . 6 |- ( y = B -> { x , y } = { x , B } )
2	1	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( y = B -> ( { x , y } e. _V <-> { x , B } e. _V ) )
3		zfpair2 4342	. . . . 5 |- { x , y } e. _V
4	2, 3	vtoclg 2883	. . . 4 |- ( B e. W -> { x , B } e. _V )
5		preq1 3784	. . . . 5 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
6	5	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = A -> ( { x , B } e. _V <-> { A , B } e. _V ) )
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 |- ( x = A -> ( B e. W -> { A , B } e. _V ) )
8	7	vtocleg 2896	. 2 |- ( A e. V -> ( B e. W -> { A , B } e. _V ) )
9	8	imp 124	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712

This theorem is referenced by:  prelpw  4348  prelpwi  4349  opexg  4363  opi2  4368  opth  4372  opeqsn  4388  opeqpr  4389  uniop  4391  unex  4582  tpexg  4585  op1stb  4619  op1stbg  4620  onun2  4632  opthreg  4698  relop  4925  acexmidlemv  6073  2oex  6694  en2prd  7096  pw2f1odclem  7124  pr2ne  7528  exmidonfinlem  7535  exmidaclem  7554  sup3exmid  9277  xrex  10237  2strbasg  13451  2stropg  13452  xpsfval  13646  prdsex  14149  prdsval  14150  xpsval  14178  struct2slots2dom  16193  structiedg0val  16195  edgstruct  16219  umgrbien  16265  upgr1edc  16276  upgr1eopdc  16278  uspgr1edc  16395  usgr1e  16396  uspgr1eopdc  16398  uspgr1ewopdc  16399  usgr1eop  16400  usgr2v1e2w  16401  vdegp1aid  16469  vdegp1bid  16470  eupth2lemsfi  16633  konigsbergvtx  16637  konigsbergiedg  16638  konigsbergumgr  16642  konigsberglem1  16643  konigsberglem2  16644  konigsberglem3  16645  konigsberglem5  16647  konigsberg  16648  isomninnlem  16984  trilpolemlt1  16995  iswomninnlem  17004  iswomni0  17006  ismkvnnlem  17007