Theorem infpwfidom 7071

Description: The collection of finite subsets of a set dominates the set. (We use the weaker sethood assumption ( ~P A i^i Fin ) e. _V because this theorem also implies that A is a set if ~P A i^i Fin is.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpwfidom	|- ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )

Proof of Theorem infpwfidom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelpwi 4142	. . 3 |- ( x e. A -> { x } e. ~P A )
2		snfig 6716	. . 3 |- ( x e. A -> { x } e. Fin )
3	1, 2	elind 3266	. 2 |- ( x e. A -> { x } e. ( ~P A i^i Fin ) )
4		sneqbg 3698	. . 3 |- ( x e. A -> ( { x } = { y } <-> x = y ) )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( { x } = { y } <-> x = y ) )
6	3, 5	dom2 6677	1 |- ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V -> A ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   i^i cin 3075   ~Pcpw 3515   {csn 3532   class class class wbr 3937   ~<_ cdom 6641   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645

This theorem is referenced by: (None)