Theorem ssoprab2 5978

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2 4310. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2	|- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Proof of Theorem ssoprab2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ps ) )
2	1	anim2d 337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
3	2	alimi 1469	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
4		exim 1613	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
6	5	alimi 1469	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
7		exim 1613	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
9	8	alimi 1469	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
10		exim 1613	. . . 4 |- ( A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
12	11	ss2abdv 3256	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } C_ { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) } )
13		df-oprab 5926	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		df-oprab 5926	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ps } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) }
15	12, 13, 14	3sstr4g 3226	1 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   {cab 2182   C_ wss 3157   <.cop 3625   {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-in 3163  df-ss 3170  df-oprab 5926

This theorem is referenced by:  ssoprab2b  5979