Theorem ssoprab2 6060

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2 4364. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2	|- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Proof of Theorem ssoprab2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ps ) )
2	1	anim2d 337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
3	2	alimi 1501	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
4		exim 1645	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
6	5	alimi 1501	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
7		exim 1645	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
9	8	alimi 1501	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
10		exim 1645	. . . 4 |- ( A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
12	11	ss2abdv 3297	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } C_ { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) } )
13		df-oprab 6005	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		df-oprab 6005	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ps } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) }
15	12, 13, 14	3sstr4g 3267	1 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   {cab 2215   C_ wss 3197   <.cop 3669   {coprab 6002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-in 3203  df-ss 3210  df-oprab 6005

This theorem is referenced by:  ssoprab2b  6061