Theorem ssoprab2 5947

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2 4290. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2	|- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Proof of Theorem ssoprab2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ps ) )
2	1	anim2d 337	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph -> ps ) -> ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
3	2	alimi 1466	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
4		exim 1610	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A. z ( ph -> ps ) -> ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
6	5	alimi 1466	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
7		exim 1610	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
9	8	alimi 1466	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
10		exim 1610	. . . 4 |- ( A. x ( E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> ( E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) -> E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) ) )
12	11	ss2abdv 3243	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } C_ { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) } )
13		df-oprab 5895	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		df-oprab 5895	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ps } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ ps ) }
15	12, 13, 14	3sstr4g 3213	1 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   {cab 2175   C_ wss 3144   <.cop 3610   {coprab 5892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-in 3150  df-ss 3157  df-oprab 5895

This theorem is referenced by:  ssoprab2b  5948