Theorem ssoprab2b 6073

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4369. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfoprab1 6065	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		nfoprab1 6065	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ps }
3	1, 2	nfss 3218	. . 3 |- F/ x { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
4		nfoprab2 6066	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		nfoprab2 6066	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ps }
6	4, 5	nfss 3218	. . . 4 |- F/ y { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
7		nfoprab3 6067	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfoprab3 6067	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ps }
9	7, 8	nfss 3218	. . . . 5 |- F/ z { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
10		ssel 3219	. . . . . 6 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } ) )
11		oprabid 6045	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
12		oprabid 6045	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ps )
13	10, 11, 12	3imtr3g 204	. . . . 5 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
14	9, 13	alrimi 1568	. . . 4 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. z ( ph -> ps ) )
15	6, 14	alrimi 1568	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. y A. z ( ph -> ps ) )
16	3, 15	alrimi 1568	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
17		ssoprab2 6072	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )
18	16, 17	impbii 126	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1393   e. wcel 2200   C_ wss 3198   <.cop 3670   {coprab 6014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-oprab 6017

This theorem is referenced by:  eqoprab2b  6074