Theorem ssoprab2b 5910

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4261. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfoprab1 5902	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		nfoprab1 5902	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ps }
3	1, 2	nfss 3140	. . 3 |- F/ x { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
4		nfoprab2 5903	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		nfoprab2 5903	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ps }
6	4, 5	nfss 3140	. . . 4 |- F/ y { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
7		nfoprab3 5904	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfoprab3 5904	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ps }
9	7, 8	nfss 3140	. . . . 5 |- F/ z { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
10		ssel 3141	. . . . . 6 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } ) )
11		oprabid 5885	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
12		oprabid 5885	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ps )
13	10, 11, 12	3imtr3g 203	. . . . 5 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
14	9, 13	alrimi 1515	. . . 4 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. z ( ph -> ps ) )
15	6, 14	alrimi 1515	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. y A. z ( ph -> ps ) )
16	3, 15	alrimi 1515	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
17		ssoprab2 5909	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )
18	16, 17	impbii 125	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   {coprab 5854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-oprab 5857

This theorem is referenced by:  eqoprab2b  5911