Theorem ssoprab2b 5899

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4254. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfoprab1 5891	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		nfoprab1 5891	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ps }
3	1, 2	nfss 3135	. . 3 |- F/ x { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
4		nfoprab2 5892	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		nfoprab2 5892	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ps }
6	4, 5	nfss 3135	. . . 4 |- F/ y { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
7		nfoprab3 5893	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfoprab3 5893	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ps }
9	7, 8	nfss 3135	. . . . 5 |- F/ z { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
10		ssel 3136	. . . . . 6 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } ) )
11		oprabid 5874	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
12		oprabid 5874	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ps )
13	10, 11, 12	3imtr3g 203	. . . . 5 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
14	9, 13	alrimi 1510	. . . 4 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. z ( ph -> ps ) )
15	6, 14	alrimi 1510	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. y A. z ( ph -> ps ) )
16	3, 15	alrimi 1510	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
17		ssoprab2 5898	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )
18	16, 17	impbii 125	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1341   e. wcel 2136   C_ wss 3116   <.cop 3579   {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-oprab 5846

This theorem is referenced by:  eqoprab2b  5900