Theorem ssoprab2b 6002

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4323. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfoprab1 5994	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		nfoprab1 5994	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ps }
3	1, 2	nfss 3186	. . 3 |- F/ x { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
4		nfoprab2 5995	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		nfoprab2 5995	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ps }
6	4, 5	nfss 3186	. . . 4 |- F/ y { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
7		nfoprab3 5996	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfoprab3 5996	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ps }
9	7, 8	nfss 3186	. . . . 5 |- F/ z { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
10		ssel 3187	. . . . . 6 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } ) )
11		oprabid 5976	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
12		oprabid 5976	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ps )
13	10, 11, 12	3imtr3g 204	. . . . 5 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
14	9, 13	alrimi 1545	. . . 4 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. z ( ph -> ps ) )
15	6, 14	alrimi 1545	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. y A. z ( ph -> ps ) )
16	3, 15	alrimi 1545	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
17		ssoprab2 6001	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )
18	16, 17	impbii 126	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2176   C_ wss 3166   <.cop 3636   {coprab 5945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-oprab 5948

This theorem is referenced by:  eqoprab2b  6003