Theorem ssoprab2b 5979

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4311. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssoprab2b	|- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfoprab1 5971	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		nfoprab1 5971	. . . 4 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ps }
3	1, 2	nfss 3176	. . 3 |- F/ x { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
4		nfoprab2 5972	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		nfoprab2 5972	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ps }
6	4, 5	nfss 3176	. . . 4 |- F/ y { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
7		nfoprab3 5973	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfoprab3 5973	. . . . . 6 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ps }
9	7, 8	nfss 3176	. . . . 5 |- F/ z { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps }
10		ssel 3177	. . . . . 6 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } ) )
11		oprabid 5954	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
12		oprabid 5954	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> ps )
13	10, 11, 12	3imtr3g 204	. . . . 5 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
14	9, 13	alrimi 1536	. . . 4 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. z ( ph -> ps ) )
15	6, 14	alrimi 1536	. . 3 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. y A. z ( ph -> ps ) )
16	3, 15	alrimi 1536	. 2 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } -> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )
17		ssoprab2 5978	. 2 |- ( A. x A. y A. z ( ph -> ps ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } )
18	16, 17	impbii 126	1 |- ( { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ { <. <. x , y >. , z >. | ps } <-> A. x A. y A. z ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   e. wcel 2167   C_ wss 3157   <.cop 3625   {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-oprab 5926

This theorem is referenced by:  eqoprab2b  5980