ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssoprab2b Unicode version

Theorem ssoprab2b 5908
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4259. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b
StepHypRef Expression
1 nfoprab1 5900 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 nfoprab1 5900 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
31, 2nfss 3140 . . 3  |-  F/ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
4 nfoprab2 5901 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 nfoprab2 5901 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
64, 5nfss 3140 . . . 4  |-  F/ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
7 nfoprab3 5902 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
8 nfoprab3 5902 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
97, 8nfss 3140 . . . . 5  |-  F/ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
10 ssel 3141 . . . . . 6  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  ->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps } ) )
11 oprabid 5883 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
12 oprabid 5883 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ps )
1310, 11, 123imtr3g 203 . . . . 5  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( ph  ->  ps ) )
149, 13alrimi 1515 . . . 4  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. z ( ph  ->  ps ) )
156, 14alrimi 1515 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. y A. z
( ph  ->  ps )
)
163, 15alrimi 1515 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
17 ssoprab2 5907 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } )
1816, 17impbii 125 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   A.wal 1346    e. wcel 2141    C_ wss 3121   <.cop 3584   {coprab 5852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-oprab 5855
This theorem is referenced by:  eqoprab2b  5909
  Copyright terms: Public domain W3C validator