ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashinfuni Unicode version

Theorem hashinfuni 10150
Description: The ordinal size of an infinite set is  om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashinfuni  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem hashinfuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4398 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
21snid 3470 . . . . 5  |-  om  e.  { om }
3 elun2 3166 . . . . 5  |-  ( om  e.  { om }  ->  om  e.  ( om  u.  { om }
) )
4 breq1 3840 . . . . . 6  |-  ( y  =  om  ->  (
y  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
54elrab3 2770 . . . . 5  |-  ( om  e.  ( om  u.  { om } )  -> 
( om  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A }  <->  om  ~<_  A ) )
62, 3, 5mp2b 8 . . . 4  |-  ( om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  om  ~<_  A )
76biimpri 131 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
8 elrabi 2766 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  z  e.  ( om  u.  { om } ) )
9 elun 3139 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  <->  ( z  e.  om  \/  z  e. 
{ om } ) )
108, 9sylib 120 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  (
z  e.  om  \/  z  e.  { om } ) )
11 ordom 4411 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
12 ordelss 4197 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  z  e.  om )  ->  z  C_ 
om )
1311, 12mpan 415 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  z  C_ 
om )
14 elsni 3459 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  =  om )
15 eqimss 3076 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  om  ->  z  C_ 
om )
1614, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  C_  om )
1713, 16jaoi 671 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  \/  z  e.  { om } )  ->  z  C_ 
om )
1810, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  z  C_ 
om )
1918adantl 271 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  -> 
z  C_  om )
2019ralrimiva 2446 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z  C_  om )
21 ssunieq 3681 . . 3  |-  ( ( om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  /\  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  om )  ->  om  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
227, 20, 21syl2anc 403 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
2322eqcomd 2093 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363    u. cun 2995    C_ wss 2997   {csn 3441   U.cuni 3648   class class class wbr 3837   Ord word 4180   omcom 4395    ~<_ cdom 6436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-tr 3929  df-iord 4184  df-suc 4189  df-iom 4396
This theorem is referenced by:  hashinfom  10151
  Copyright terms: Public domain W3C validator