ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashinfuni Unicode version

Theorem hashinfuni 10920
Description: The ordinal size of an infinite set is  om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashinfuni  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem hashinfuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4640 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
21snid 3663 . . . . 5  |-  om  e.  { om }
3 elun2 3340 . . . . 5  |-  ( om  e.  { om }  ->  om  e.  ( om  u.  { om }
) )
4 breq1 4046 . . . . . 6  |-  ( y  =  om  ->  (
y  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
54elrab3 2929 . . . . 5  |-  ( om  e.  ( om  u.  { om } )  -> 
( om  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A }  <->  om  ~<_  A ) )
62, 3, 5mp2b 8 . . . 4  |-  ( om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  om  ~<_  A )
76biimpri 133 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
8 elrabi 2925 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  z  e.  ( om  u.  { om } ) )
9 elun 3313 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  <->  ( z  e.  om  \/  z  e. 
{ om } ) )
108, 9sylib 122 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  (
z  e.  om  \/  z  e.  { om } ) )
11 ordom 4654 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
12 ordelss 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  z  e.  om )  ->  z  C_ 
om )
1311, 12mpan 424 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  z  C_ 
om )
14 elsni 3650 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  =  om )
15 eqimss 3246 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  om  ->  z  C_ 
om )
1614, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  C_  om )
1713, 16jaoi 717 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  \/  z  e.  { om } )  ->  z  C_ 
om )
1810, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  z  C_ 
om )
1918adantl 277 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  -> 
z  C_  om )
2019ralrimiva 2578 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z  C_  om )
21 ssunieq 3882 . . 3  |-  ( ( om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  /\  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  om )  ->  om  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
227, 20, 21syl2anc 411 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
2322eqcomd 2210 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1372    e. wcel 2175   A.wral 2483   {crab 2487    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3632   U.cuni 3849   class class class wbr 4043   Ord word 4408   omcom 4637    ~<_ cdom 6825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-iinf 4635
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-tr 4142  df-iord 4412  df-suc 4417  df-iom 4638
This theorem is referenced by:  hashinfom  10921
  Copyright terms: Public domain W3C validator