Theorem hashinfuni 10922

Description: The ordinal size of an infinite set is om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfuni	|- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Distinct variable group:   y, A

Proof of Theorem hashinfuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4641	. . . . . 6 |- om e. _V
2	1	snid 3664	. . . . 5 |- om e. { om }
3		elun2 3341	. . . . 5 |- ( om e. { om } -> om e. ( om u. { om } ) )
4		breq1 4047	. . . . . 6 |- ( y = om -> ( y ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
5	4	elrab3 2930	. . . . 5 |- ( om e. ( om u. { om } ) -> ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A ) )
6	2, 3, 5	mp2b 8	. . . 4 |- ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( om ~<_ A -> om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		elrabi 2926	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z e. ( om u. { om } ) )
9		elun 3314	. . . . . . 7 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
11		ordom 4655	. . . . . . . 8 |- Ord om
12		ordelss 4426	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ z e. om ) -> z C_ om )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( z e. om -> z C_ om )
14		elsni 3651	. . . . . . . 8 |- ( z e. { om } -> z = om )
15		eqimss 3247	. . . . . . . 8 |- ( z = om -> z C_ om )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { om } -> z C_ om )
17	13, 16	jaoi 718	. . . . . 6 |- ( ( z e. om \/ z e. { om } ) -> z C_ om )
18	10, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z C_ om )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ om )
20	19	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( om ~<_ A -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om )
21		ssunieq 3883	. . 3 |- ( ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om ) -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
22	7, 20, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( om ~<_ A -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
23	22	eqcomd 2211	1 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   u. cun 3164   C_ wss 3166   {csn 3633   U.cuni 3850   class class class wbr 4044   Ord word 4409   omcom 4638   ~<_ cdom 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-tr 4143  df-iord 4413  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  hashinfom  10923