ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashinfuni Unicode version

Theorem hashinfuni 10752
Description: The ordinal size of an infinite set is  om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashinfuni  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem hashinfuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4592 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
21snid 3623 . . . . 5  |-  om  e.  { om }
3 elun2 3303 . . . . 5  |-  ( om  e.  { om }  ->  om  e.  ( om  u.  { om }
) )
4 breq1 4006 . . . . . 6  |-  ( y  =  om  ->  (
y  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
54elrab3 2894 . . . . 5  |-  ( om  e.  ( om  u.  { om } )  -> 
( om  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A }  <->  om  ~<_  A ) )
62, 3, 5mp2b 8 . . . 4  |-  ( om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  om  ~<_  A )
76biimpri 133 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
8 elrabi 2890 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  z  e.  ( om  u.  { om } ) )
9 elun 3276 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  <->  ( z  e.  om  \/  z  e. 
{ om } ) )
108, 9sylib 122 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  (
z  e.  om  \/  z  e.  { om } ) )
11 ordom 4606 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
12 ordelss 4379 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  z  e.  om )  ->  z  C_ 
om )
1311, 12mpan 424 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  z  C_ 
om )
14 elsni 3610 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  =  om )
15 eqimss 3209 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  om  ->  z  C_ 
om )
1614, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  C_  om )
1713, 16jaoi 716 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  \/  z  e.  { om } )  ->  z  C_ 
om )
1810, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  z  C_ 
om )
1918adantl 277 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  -> 
z  C_  om )
2019ralrimiva 2550 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z  C_  om )
21 ssunieq 3842 . . 3  |-  ( ( om  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  /\  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  om )  ->  om  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
227, 20, 21syl2anc 411 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
2322eqcomd 2183 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459    u. cun 3127    C_ wss 3129   {csn 3592   U.cuni 3809   class class class wbr 4003   Ord word 4362   omcom 4589    ~<_ cdom 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-tr 4102  df-iord 4366  df-suc 4371  df-iom 4590
This theorem is referenced by:  hashinfom  10753
  Copyright terms: Public domain W3C validator