Theorem hashinfuni 10851

Description: The ordinal size of an infinite set is om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfuni	|- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Distinct variable group:   y, A

Proof of Theorem hashinfuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4626	. . . . . 6 |- om e. _V
2	1	snid 3650	. . . . 5 |- om e. { om }
3		elun2 3328	. . . . 5 |- ( om e. { om } -> om e. ( om u. { om } ) )
4		breq1 4033	. . . . . 6 |- ( y = om -> ( y ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
5	4	elrab3 2918	. . . . 5 |- ( om e. ( om u. { om } ) -> ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A ) )
6	2, 3, 5	mp2b 8	. . . 4 |- ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( om ~<_ A -> om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		elrabi 2914	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z e. ( om u. { om } ) )
9		elun 3301	. . . . . . 7 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
11		ordom 4640	. . . . . . . 8 |- Ord om
12		ordelss 4411	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ z e. om ) -> z C_ om )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( z e. om -> z C_ om )
14		elsni 3637	. . . . . . . 8 |- ( z e. { om } -> z = om )
15		eqimss 3234	. . . . . . . 8 |- ( z = om -> z C_ om )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { om } -> z C_ om )
17	13, 16	jaoi 717	. . . . . 6 |- ( ( z e. om \/ z e. { om } ) -> z C_ om )
18	10, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z C_ om )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ om )
20	19	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( om ~<_ A -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om )
21		ssunieq 3869	. . 3 |- ( ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om ) -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
22	7, 20, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( om ~<_ A -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
23	22	eqcomd 2199	1 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   u. cun 3152   C_ wss 3154   {csn 3619   U.cuni 3836   class class class wbr 4030   Ord word 4394   omcom 4623   ~<_ cdom 6795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-tr 4129  df-iord 4398  df-suc 4403  df-iom 4624

This theorem is referenced by:  hashinfom  10852