Theorem hashinfuni 11140

Description: The ordinal size of an infinite set is om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfuni	|- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Distinct variable group:   y, A

Proof of Theorem hashinfuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4715	. . . . . 6 |- om e. _V
2	1	snid 3720	. . . . 5 |- om e. { om }
3		elun2 3387	. . . . 5 |- ( om e. { om } -> om e. ( om u. { om } ) )
4		breq1 4112	. . . . . 6 |- ( y = om -> ( y ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
5	4	elrab3 2974	. . . . 5 |- ( om e. ( om u. { om } ) -> ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A ) )
6	2, 3, 5	mp2b 8	. . . 4 |- ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( om ~<_ A -> om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		elrabi 2970	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z e. ( om u. { om } ) )
9		elun 3360	. . . . . . 7 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
11		ordom 4729	. . . . . . . 8 |- Ord om
12		ordelss 4500	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ z e. om ) -> z C_ om )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( z e. om -> z C_ om )
14		elsni 3707	. . . . . . . 8 |- ( z e. { om } -> z = om )
15		eqimss 3292	. . . . . . . 8 |- ( z = om -> z C_ om )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { om } -> z C_ om )
17	13, 16	jaoi 724	. . . . . 6 |- ( ( z e. om \/ z e. { om } ) -> z C_ om )
18	10, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z C_ om )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ om )
20	19	ralrimiva 2615	. . 3 |- ( om ~<_ A -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om )
21		ssunieq 3947	. . 3 |- ( ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om ) -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
22	7, 20, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( om ~<_ A -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
23	22	eqcomd 2238	1 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   u. cun 3209   C_ wss 3211   {csn 3689   U.cuni 3914   class class class wbr 4109   Ord word 4483   omcom 4712   ~<_ cdom 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-tr 4209  df-iord 4487  df-suc 4492  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  hashinfom  11141