Theorem hashinfuni 10759

Description: The ordinal size of an infinite set is om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfuni	|- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Distinct variable group:   y, A

Proof of Theorem hashinfuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4594	. . . . . 6 |- om e. _V
2	1	snid 3625	. . . . 5 |- om e. { om }
3		elun2 3305	. . . . 5 |- ( om e. { om } -> om e. ( om u. { om } ) )
4		breq1 4008	. . . . . 6 |- ( y = om -> ( y ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
5	4	elrab3 2896	. . . . 5 |- ( om e. ( om u. { om } ) -> ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A ) )
6	2, 3, 5	mp2b 8	. . . 4 |- ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> om ~<_ A )
7	6	biimpri 133	. . 3 |- ( om ~<_ A -> om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		elrabi 2892	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z e. ( om u. { om } ) )
9		elun 3278	. . . . . . 7 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
10	8, 9	sylib 122	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
11		ordom 4608	. . . . . . . 8 |- Ord om
12		ordelss 4381	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ z e. om ) -> z C_ om )
13	11, 12	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( z e. om -> z C_ om )
14		elsni 3612	. . . . . . . 8 |- ( z e. { om } -> z = om )
15		eqimss 3211	. . . . . . . 8 |- ( z = om -> z C_ om )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { om } -> z C_ om )
17	13, 16	jaoi 716	. . . . . 6 |- ( ( z e. om \/ z e. { om } ) -> z C_ om )
18	10, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> z C_ om )
19	18	adantl 277	. . . 4 |- ( ( om ~<_ A /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ om )
20	19	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( om ~<_ A -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om )
21		ssunieq 3844	. . 3 |- ( ( om e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ om ) -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
22	7, 20, 21	syl2anc 411	. 2 |- ( om ~<_ A -> om = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
23	22	eqcomd 2183	1 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   Ord word 4364   omcom 4591   ~<_ cdom 6741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-tr 4104  df-iord 4368  df-suc 4373  df-iom 4592

This theorem is referenced by:  hashinfom  10760