ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennnuni Unicode version

Theorem hashennnuni 10022
Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of  om is that element of  om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
Distinct variable groups:    y, A    y, N

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3151 . . . . 5  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  ( om  u.  { om } ) )
21adantr 270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  ( om  u.  { om } ) )
3 endom 6410 . . . . 5  |-  ( N 
~~  A  ->  N  ~<_  A )
43adantl 271 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  ~<_  A )
5 breq1 3814 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
y  ~<_  A  <->  N  ~<_  A ) )
65elrab 2759 . . . 4  |-  ( N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  ( N  e.  ( om  u.  { om } )  /\  N  ~<_  A ) )
72, 4, 6sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
8 breq1 3814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  ~<_  A  <->  z  ~<_  A ) )
98elrab 2759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  /\  z  ~<_  A ) )
109biimpi 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  (
z  e.  ( om  u.  { om }
)  /\  z  ~<_  A ) )
1110adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  (
z  e.  ( om  u.  { om }
)  /\  z  ~<_  A ) )
1211simprd 112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  ~<_  A )
13 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  N  ~~  A )
1413ensymd 6430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  A  ~~  N )
15 domentr 6438 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ~<_  A  /\  A  ~~  N )  ->  z  ~<_  N )
1612, 14, 15syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  ~<_  N )
1716adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  ~<_  N )
18 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
19 simplll 500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  N  e.  om )
20 nndomo 6510 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  N  e.  om )  ->  ( z  ~<_  N  <->  z  C_  N ) )
2118, 19, 20syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  ( z  ~<_  N  <->  z  C_  N ) )
2217, 21mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  C_  N )
23 nnfi 6518 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  Fin )
2423ad3antrrr 476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  N  e.  Fin )
2514adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  A  ~~  N )
26 enfii 6520 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A  ~~  N )  ->  A  e.  Fin )
2724, 25, 26syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  A  e.  Fin )
2812adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  z  ~<_  A )
29 elsni 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  =  om )
3029breq1d 3821 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { om }  ->  ( z  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
3130adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  (
z  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
3228, 31mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  om  ~<_  A )
33 infnfi 6541 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
3432, 33syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  -.  A  e.  Fin )
3527, 34pm2.21dd 583 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  z  C_  N )
3611simpld 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  e.  ( om  u.  { om } ) )
37 elun 3125 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  <->  ( z  e.  om  \/  z  e. 
{ om } ) )
3836, 37sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  (
z  e.  om  \/  z  e.  { om } ) )
3922, 35, 38mpjaodan 745 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  C_  N )
4039ralrimiva 2440 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  N )
41 ssunieq 3660 . . 3  |-  ( ( N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  /\  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  N )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
427, 40, 41syl2anc 403 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
4342eqcomd 2088 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   {crab 2357    u. cun 2982    C_ wss 2984   {csn 3422   U.cuni 3627   class class class wbr 3811   omcom 4368    ~~ cen 6385    ~<_ cdom 6386   Fincfn 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390
This theorem is referenced by:  hashennn  10023
  Copyright terms: Public domain W3C validator