Theorem hashennnuni 11040

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of om is that element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Distinct variable groups:   y, A   y, N

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3374	. . . . 5 |- ( N e. om -> N e. ( om u. { om } ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. ( om u. { om } ) )
3		endom 6935	. . . . 5 |- ( N ~~ A -> N ~<_ A )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~<_ A )
5		breq1 4091	. . . . 5 |- ( y = N -> ( y ~<_ A <-> N ~<_ A ) )
6	5	elrab 2962	. . . 4 |- ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( N e. ( om u. { om } ) /\ N ~<_ A ) )
7	2, 4, 6	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		breq1 4091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y ~<_ A <-> z ~<_ A ) )
9	8	elrab 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ A )
13		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> N ~~ A )
14	13	ensymd 6956	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> A ~~ N )
15		domentr 6964	. . . . . . . 8 |- ( ( z ~<_ A /\ A ~~ N ) -> z ~<_ N )
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ N )
17	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z ~<_ N )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z e. om )
19		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> N e. om )
20		nndomo 7049	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ N e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
22	17, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z C_ N )
23		nnfi 7058	. . . . . . . 8 |- ( N e. om -> N e. Fin )
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> N e. Fin )
25	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A ~~ N )
26		enfii 7060	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A e. Fin )
28	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z ~<_ A )
29		elsni 3687	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { om } -> z = om )
30	29	breq1d 4098	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { om } -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> om ~<_ A )
33		infnfi 7083	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> -. A e. Fin )
35	27, 34	pm2.21dd 625	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z C_ N )
36	11	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z e. ( om u. { om } ) )
37		elun 3348	. . . . . 6 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
38	36, 37	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
39	22, 35, 38	mpjaodan 805	. . . 4 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ N )
40	39	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N )
41		ssunieq 3926	. . 3 |- ( ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
42	7, 40, 41	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
43	42	eqcomd 2237	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   u. cun 3198   C_ wss 3200   {csn 3669   U.cuni 3893   class class class wbr 4088   omcom 4688   ~~ cen 6906   ~<_ cdom 6907   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  hashennn  11041