Theorem hashennnuni 10762

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of om is that element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Distinct variable groups:   y, A   y, N

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3304	. . . . 5 |- ( N e. om -> N e. ( om u. { om } ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. ( om u. { om } ) )
3		endom 6766	. . . . 5 |- ( N ~~ A -> N ~<_ A )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~<_ A )
5		breq1 4008	. . . . 5 |- ( y = N -> ( y ~<_ A <-> N ~<_ A ) )
6	5	elrab 2895	. . . 4 |- ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( N e. ( om u. { om } ) /\ N ~<_ A ) )
7	2, 4, 6	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		breq1 4008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y ~<_ A <-> z ~<_ A ) )
9	8	elrab 2895	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ A )
13		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> N ~~ A )
14	13	ensymd 6786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> A ~~ N )
15		domentr 6794	. . . . . . . 8 |- ( ( z ~<_ A /\ A ~~ N ) -> z ~<_ N )
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ N )
17	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z ~<_ N )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z e. om )
19		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> N e. om )
20		nndomo 6867	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ N e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
22	17, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z C_ N )
23		nnfi 6875	. . . . . . . 8 |- ( N e. om -> N e. Fin )
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> N e. Fin )
25	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A ~~ N )
26		enfii 6877	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A e. Fin )
28	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z ~<_ A )
29		elsni 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { om } -> z = om )
30	29	breq1d 4015	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { om } -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> om ~<_ A )
33		infnfi 6898	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> -. A e. Fin )
35	27, 34	pm2.21dd 620	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z C_ N )
36	11	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z e. ( om u. { om } ) )
37		elun 3278	. . . . . 6 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
38	36, 37	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
39	22, 35, 38	mpjaodan 798	. . . 4 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ N )
40	39	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N )
41		ssunieq 3844	. . 3 |- ( ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
42	7, 40, 41	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
43	42	eqcomd 2183	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   omcom 4591   ~~ cen 6741   ~<_ cdom 6742   Fincfn 6743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746

This theorem is referenced by:  hashennn  10763