Theorem hashennnuni 11087

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of om is that element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Distinct variable groups:   y, A   y, N

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3376	. . . . 5 |- ( N e. om -> N e. ( om u. { om } ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. ( om u. { om } ) )
3		endom 6979	. . . . 5 |- ( N ~~ A -> N ~<_ A )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~<_ A )
5		breq1 4096	. . . . 5 |- ( y = N -> ( y ~<_ A <-> N ~<_ A ) )
6	5	elrab 2963	. . . 4 |- ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( N e. ( om u. { om } ) /\ N ~<_ A ) )
7	2, 4, 6	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		breq1 4096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y ~<_ A <-> z ~<_ A ) )
9	8	elrab 2963	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ A )
13		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> N ~~ A )
14	13	ensymd 7000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> A ~~ N )
15		domentr 7008	. . . . . . . 8 |- ( ( z ~<_ A /\ A ~~ N ) -> z ~<_ N )
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ N )
17	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z ~<_ N )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z e. om )
19		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> N e. om )
20		nndomo 7093	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ N e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
22	17, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z C_ N )
23		nnfi 7102	. . . . . . . 8 |- ( N e. om -> N e. Fin )
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> N e. Fin )
25	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A ~~ N )
26		enfii 7104	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A e. Fin )
28	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z ~<_ A )
29		elsni 3691	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { om } -> z = om )
30	29	breq1d 4103	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { om } -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> om ~<_ A )
33		infnfi 7127	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> -. A e. Fin )
35	27, 34	pm2.21dd 625	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z C_ N )
36	11	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z e. ( om u. { om } ) )
37		elun 3350	. . . . . 6 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
38	36, 37	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
39	22, 35, 38	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ N )
40	39	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N )
41		ssunieq 3931	. . 3 |- ( ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
42	7, 40, 41	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
43	42	eqcomd 2237	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   U.cuni 3898   class class class wbr 4093   omcom 4694   ~~ cen 6950   ~<_ cdom 6951   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  hashennn  11088