ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennnuni Unicode version

Theorem hashennnuni 10493
Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of  om is that element of  om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
Distinct variable groups:    y, A    y, N

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3213 . . . . 5  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  ( om  u.  { om } ) )
21adantr 274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  ( om  u.  { om } ) )
3 endom 6625 . . . . 5  |-  ( N 
~~  A  ->  N  ~<_  A )
43adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  ~<_  A )
5 breq1 3902 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
y  ~<_  A  <->  N  ~<_  A ) )
65elrab 2813 . . . 4  |-  ( N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  ( N  e.  ( om  u.  { om } )  /\  N  ~<_  A ) )
72, 4, 6sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
8 breq1 3902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  ~<_  A  <->  z  ~<_  A ) )
98elrab 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  /\  z  ~<_  A ) )
109biimpi 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  (
z  e.  ( om  u.  { om }
)  /\  z  ~<_  A ) )
1110adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  (
z  e.  ( om  u.  { om }
)  /\  z  ~<_  A ) )
1211simprd 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  ~<_  A )
13 simplr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  N  ~~  A )
1413ensymd 6645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  A  ~~  N )
15 domentr 6653 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ~<_  A  /\  A  ~~  N )  ->  z  ~<_  N )
1612, 14, 15syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  ~<_  N )
1716adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  ~<_  N )
18 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
19 simplll 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  N  e.  om )
20 nndomo 6726 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  N  e.  om )  ->  ( z  ~<_  N  <->  z  C_  N ) )
2118, 19, 20syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  ( z  ~<_  N  <->  z  C_  N ) )
2217, 21mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  C_  N )
23 nnfi 6734 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  Fin )
2423ad3antrrr 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  N  e.  Fin )
2514adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  A  ~~  N )
26 enfii 6736 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A  ~~  N )  ->  A  e.  Fin )
2724, 25, 26syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  A  e.  Fin )
2812adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  z  ~<_  A )
29 elsni 3515 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  =  om )
3029breq1d 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { om }  ->  ( z  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
3130adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  (
z  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
3228, 31mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  om  ~<_  A )
33 infnfi 6757 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
3432, 33syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  -.  A  e.  Fin )
3527, 34pm2.21dd 594 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  z  C_  N )
3611simpld 111 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  e.  ( om  u.  { om } ) )
37 elun 3187 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  <->  ( z  e.  om  \/  z  e. 
{ om } ) )
3836, 37sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  (
z  e.  om  \/  z  e.  { om } ) )
3922, 35, 38mpjaodan 772 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  C_  N )
4039ralrimiva 2482 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  N )
41 ssunieq 3739 . . 3  |-  ( ( N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  /\  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  N )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
427, 40, 41syl2anc 408 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
4342eqcomd 2123 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   {crab 2397    u. cun 3039    C_ wss 3041   {csn 3497   U.cuni 3706   class class class wbr 3899   omcom 4474    ~~ cen 6600    ~<_ cdom 6601   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  hashennn  10494
  Copyright terms: Public domain W3C validator