ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennnuni Unicode version

Theorem hashennnuni 10418
Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of  om is that element of  om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennnuni  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
Distinct variable groups:    y, A    y, N

Proof of Theorem hashennnuni
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3209 . . . . 5  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  ( om  u.  { om } ) )
21adantr 272 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  ( om  u.  { om } ) )
3 endom 6611 . . . . 5  |-  ( N 
~~  A  ->  N  ~<_  A )
43adantl 273 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  ~<_  A )
5 breq1 3898 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
y  ~<_  A  <->  N  ~<_  A ) )
65elrab 2809 . . . 4  |-  ( N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  ( N  e.  ( om  u.  { om } )  /\  N  ~<_  A ) )
72, 4, 6sylanbrc 411 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
8 breq1 3898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y  ~<_  A  <->  z  ~<_  A ) )
98elrab 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  <->  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  /\  z  ~<_  A ) )
109biimpi 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  ->  (
z  e.  ( om  u.  { om }
)  /\  z  ~<_  A ) )
1110adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  (
z  e.  ( om  u.  { om }
)  /\  z  ~<_  A ) )
1211simprd 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  ~<_  A )
13 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  N  ~~  A )
1413ensymd 6631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  A  ~~  N )
15 domentr 6639 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  ~<_  A  /\  A  ~~  N )  ->  z  ~<_  N )
1612, 14, 15syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  ~<_  N )
1716adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  ~<_  N )
18 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
19 simplll 505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  N  e.  om )
20 nndomo 6711 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  N  e.  om )  ->  ( z  ~<_  N  <->  z  C_  N ) )
2118, 19, 20syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  ( z  ~<_  N  <->  z  C_  N ) )
2217, 21mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  om )  ->  z  C_  N )
23 nnfi 6719 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  Fin )
2423ad3antrrr 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  N  e.  Fin )
2514adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  A  ~~  N )
26 enfii 6721 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A  ~~  N )  ->  A  e.  Fin )
2724, 25, 26syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  A  e.  Fin )
2812adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  z  ~<_  A )
29 elsni 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { om }  ->  z  =  om )
3029breq1d 3905 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { om }  ->  ( z  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
3130adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  (
z  ~<_  A  <->  om  ~<_  A ) )
3228, 31mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  om  ~<_  A )
33 infnfi 6742 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
3432, 33syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  -.  A  e.  Fin )
3527, 34pm2.21dd 592 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )  /\  z  e.  { om } )  ->  z  C_  N )
3611simpld 111 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  e.  ( om  u.  { om } ) )
37 elun 3183 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( om  u.  { om } )  <->  ( z  e.  om  \/  z  e. 
{ om } ) )
3836, 37sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  (
z  e.  om  \/  z  e.  { om } ) )
3922, 35, 38mpjaodan 770 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  /\  z  e.  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )  ->  z  C_  N )
4039ralrimiva 2479 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  N )
41 ssunieq 3735 . . 3  |-  ( ( N  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  /\  A. z  e.  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } z 
C_  N )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
427, 40, 41syl2anc 406 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
4342eqcomd 2120 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   {crab 2394    u. cun 3035    C_ wss 3037   {csn 3493   U.cuni 3702   class class class wbr 3895   omcom 4464    ~~ cen 6586    ~<_ cdom 6587   Fincfn 6588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591
This theorem is referenced by:  hashennn  10419
  Copyright terms: Public domain W3C validator