Theorem hashennnuni 11196

Description: The ordinal size of a set equinumerous to an element of om is that element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennnuni	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Distinct variable groups:   y, A   y, N

Proof of Theorem hashennnuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3396	. . . . 5 |- ( N e. om -> N e. ( om u. { om } ) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. ( om u. { om } ) )
3		endom 7039	. . . . 5 |- ( N ~~ A -> N ~<_ A )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~<_ A )
5		breq1 4128	. . . . 5 |- ( y = N -> ( y ~<_ A <-> N ~<_ A ) )
6	5	elrab 2982	. . . 4 |- ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( N e. ( om u. { om } ) /\ N ~<_ A ) )
7	2, 4, 6	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
8		breq1 4128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y ~<_ A <-> z ~<_ A ) )
9	8	elrab 2982	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } <-> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
10	9	biimpi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. ( om u. { om } ) /\ z ~<_ A ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ A )
13		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> N ~~ A )
14	13	ensymd 7060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> A ~~ N )
15		domentr 7068	. . . . . . . 8 |- ( ( z ~<_ A /\ A ~~ N ) -> z ~<_ N )
16	12, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z ~<_ N )
17	16	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z ~<_ N )
18		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z e. om )
19		simplll 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> N e. om )
20		nndomo 7155	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ N e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> ( z ~<_ N <-> z C_ N ) )
22	17, 21	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. om ) -> z C_ N )
23		nnfi 7164	. . . . . . . 8 |- ( N e. om -> N e. Fin )
24	23	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> N e. Fin )
25	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A ~~ N )
26		enfii 7166	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
27	24, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> A e. Fin )
28	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z ~<_ A )
29		elsni 3723	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { om } -> z = om )
30	29	breq1d 4135	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { om } -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> ( z ~<_ A <-> om ~<_ A ) )
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> om ~<_ A )
33		infnfi 7189	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> -. A e. Fin )
35	27, 34	pm2.21dd 629	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) /\ z e. { om } ) -> z C_ N )
36	11	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z e. ( om u. { om } ) )
37		elun 3370	. . . . . 6 |- ( z e. ( om u. { om } ) <-> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
38	36, 37	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> ( z e. om \/ z e. { om } ) )
39	22, 35, 38	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ( N e. om /\ N ~~ A ) /\ z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) -> z C_ N )
40	39	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N )
41		ssunieq 3963	. . 3 |- ( ( N e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } /\ A. z e. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } z C_ N ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
42	7, 40, 41	syl2anc 415	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
43	42	eqcomd 2244	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   U.cuni 3930   class class class wbr 4125   omcom 4732   ~~ cen 7010   ~<_ cdom 7011   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  hashennn  11197