Theorem unissb 3678

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem unissb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3651	. . . . . 6 |- ( y e. U. A <-> E. x ( y e. x /\ x e. A ) )
2	1	imbi1i 236	. . . . 5 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
3		19.23v 1811	. . . . 5 |- ( A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
4	2, 3	bitr4i 185	. . . 4 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
5	4	albii 1404	. . 3 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
6		alcom 1412	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
7		19.21v 1801	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
8		impexp 259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) )
9		bi2.04 246	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
10	8, 9	bitri 182	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
11	10	albii 1404	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
12		dfss2 3012	. . . . . . 7 |- ( x C_ B <-> A. y ( y e. x -> y e. B ) )
13	12	imbi2i 224	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> x C_ B ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
14	7, 11, 13	3bitr4i 210	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> x C_ B ) )
15	14	albii 1404	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
16	6, 15	bitri 182	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
17	5, 16	bitri 182	. 2 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
18		dfss2 3012	. 2 |- ( U. A C_ B <-> A. y ( y e. U. A -> y e. B ) )
19		df-ral 2364	. 2 |- ( A. x e. A x C_ B <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
20	17, 18, 19	3bitr4i 210	1 |- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   E.wex 1426   e. wcel 1438   A.wral 2359   C_ wss 2997   U.cuni 3648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-in 3003  df-ss 3010  df-uni 3649

This theorem is referenced by:  uniss2  3679  ssunieq  3681  sspwuni  3808  pwssb  3809  bm2.5ii  4303  sbthlem1  6645