Theorem unissb 3774

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem unissb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3747	. . . . . 6 |- ( y e. U. A <-> E. x ( y e. x /\ x e. A ) )
2	1	imbi1i 237	. . . . 5 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
3		19.23v 1856	. . . . 5 |- ( A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
4	2, 3	bitr4i 186	. . . 4 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
5	4	albii 1447	. . 3 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
6		alcom 1455	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
7		19.21v 1846	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
8		impexp 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) )
9		bi2.04 247	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
10	8, 9	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
11	10	albii 1447	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
12		dfss2 3091	. . . . . . 7 |- ( x C_ B <-> A. y ( y e. x -> y e. B ) )
13	12	imbi2i 225	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> x C_ B ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
14	7, 11, 13	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> x C_ B ) )
15	14	albii 1447	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
16	6, 15	bitri 183	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
17	5, 16	bitri 183	. 2 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
18		dfss2 3091	. 2 |- ( U. A C_ B <-> A. y ( y e. U. A -> y e. B ) )
19		df-ral 2422	. 2 |- ( A. x e. A x C_ B <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
20	17, 18, 19	3bitr4i 211	1 |- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-uni 3745

This theorem is referenced by:  uniss2  3775  ssunieq  3777  sspwuni  3905  pwssb  3906  bm2.5ii  4420  sbthlem1  6853  neipsm  12362  neiuni  12369