Theorem unissb 3894

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem unissb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3867	. . . . . 6 |- ( y e. U. A <-> E. x ( y e. x /\ x e. A ) )
2	1	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
3		19.23v 1907	. . . . 5 |- ( A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
4	2, 3	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
5	4	albii 1494	. . 3 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
6		alcom 1502	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
7		19.21v 1897	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
8		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) )
9		bi2.04 248	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
11	10	albii 1494	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
12		ssalel 3189	. . . . . . 7 |- ( x C_ B <-> A. y ( y e. x -> y e. B ) )
13	12	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> x C_ B ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
14	7, 11, 13	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> x C_ B ) )
15	14	albii 1494	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
16	6, 15	bitri 184	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
17	5, 16	bitri 184	. 2 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
18		ssalel 3189	. 2 |- ( U. A C_ B <-> A. y ( y e. U. A -> y e. B ) )
19		df-ral 2491	. 2 |- ( A. x e. A x C_ B <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
20	17, 18, 19	3bitr4i 212	1 |- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   C_ wss 3174   U.cuni 3864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-uni 3865

This theorem is referenced by:  uniss2  3895  ssunieq  3897  sspwuni  4026  pwssb  4027  bm2.5ii  4562  sbthlem1  7085  subgintm  13649  neipsm  14741  neiuni  14748