Theorem unissb 3880

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem unissb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3853	. . . . . 6 |- ( y e. U. A <-> E. x ( y e. x /\ x e. A ) )
2	1	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
3		19.23v 1906	. . . . 5 |- ( A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
4	2, 3	bitr4i 187	. . . 4 |- ( ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
5	4	albii 1493	. . 3 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
6		alcom 1501	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) )
7		19.21v 1896	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
8		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) )
9		bi2.04 248	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. x -> ( x e. A -> y e. B ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
11	10	albii 1493	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. x -> y e. B ) ) )
12		ssalel 3181	. . . . . . 7 |- ( x C_ B <-> A. y ( y e. x -> y e. B ) )
13	12	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> x C_ B ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. x -> y e. B ) ) )
14	7, 11, 13	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> ( x e. A -> x C_ B ) )
15	14	albii 1493	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
16	6, 15	bitri 184	. . 3 |- ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
17	5, 16	bitri 184	. 2 |- ( A. y ( y e. U. A -> y e. B ) <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
18		ssalel 3181	. 2 |- ( U. A C_ B <-> A. y ( y e. U. A -> y e. B ) )
19		df-ral 2489	. 2 |- ( A. x e. A x C_ B <-> A. x ( x e. A -> x C_ B ) )
20	17, 18, 19	3bitr4i 212	1 |- ( U. A C_ B <-> A. x e. A x C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   C_ wss 3166   U.cuni 3850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-uni 3851

This theorem is referenced by:  uniss2  3881  ssunieq  3883  sspwuni  4012  pwssb  4013  bm2.5ii  4544  sbthlem1  7059  subgintm  13534  neipsm  14626  neiuni  14633