Theorem elssuni 3772

Description: An element of a class is a subclass of its union. Theorem 8.6 of [Quine] p. 54. Also the basis for Proposition 7.20 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elssuni	|- ( A e. B -> A C_ U. B )

Proof of Theorem elssuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3122	. 2 |- A C_ A
2		ssuni 3766	. 2 |- ( ( A C_ A /\ A e. B ) -> A C_ U. B )
3	1, 2	mpan 421	1 |- ( A e. B -> A C_ U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   C_ wss 3076   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-uni 3745

This theorem is referenced by:  unissel  3773  ssunieq  3777  pwuni  4124  pwel  4148  uniopel  4186  iunpw  4409  dmrnssfld  4810  fvssunirng  5444  relfvssunirn  5445  sefvex  5450  riotaexg  5742  pwuninel2  6187  tfrlem9  6224  tfrexlem  6239  sbthlem1  6853  sbthlem2  6854  unirnioo  9786  eltopss  12215  toponss  12232  isbasis3g  12252  baspartn  12256  bastg  12269  tgcl  12272  epttop  12298  difopn  12316  ssntr  12330  isopn3  12333  isopn3i  12343  neiuni  12369  resttopon  12379  restopn2  12391  ssidcn  12418  lmtopcnp  12458  txuni2  12464  hmeoimaf1o  12522  tgioo  12754  bj-elssuniab  13169