Theorem sucel 4388

Description: Membership of a successor in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
sucel	|- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem sucel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2494	. 2 |- ( suc A e. B <-> E. x e. B x = suc A )
2		dfcleq 2159	. . . 4 |- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) )
3		vex 2729	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	elsuc 4384	. . . . . 6 |- ( y e. suc A <-> ( y e. A \/ y = A ) )
5	4	bibi2i 226	. . . . 5 |- ( ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
6	5	albii 1458	. . . 4 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
7	2, 6	bitri 183	. . 3 |- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
8	7	rexbii 2473	. 2 |- ( E. x e. B x = suc A <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
9	1, 8	bitri 183	1 |- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-suc 4349

This theorem is referenced by: (None)