Theorem sucel 4332

Description: Membership of a successor in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
sucel	|- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem sucel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2463	. 2 |- ( suc A e. B <-> E. x e. B x = suc A )
2		dfcleq 2133	. . . 4 |- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) )
3		vex 2689	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	elsuc 4328	. . . . . 6 |- ( y e. suc A <-> ( y e. A \/ y = A ) )
5	4	bibi2i 226	. . . . 5 |- ( ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
6	5	albii 1446	. . . 4 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. suc A ) <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
7	2, 6	bitri 183	. . 3 |- ( x = suc A <-> A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
8	7	rexbii 2442	. 2 |- ( E. x e. B x = suc A <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )
9	1, 8	bitri 183	1 |- ( suc A e. B <-> E. x e. B A. y ( y e. x <-> ( y e. A \/ y = A ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-suc 4293

This theorem is referenced by: (None)