Theorem 2moswapdc 2109

Description: A condition allowing swap of "at most one" and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2moswapdc	⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))

Proof of Theorem 2moswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1489	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦𝜑
2	1	moexexdc 2103	. . 3 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → ((∃*𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑)))
3	2	expcomd 1434	. 2 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))))
4		19.8a 1583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦𝜑)
5	4	pm4.71ri 390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
6	5	exbii 1598	. . . 4 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
7	6	mobii 2056	. . 3 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥𝜑 ↔ ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
8	7	imbi2i 225	. 2 ⊢ ((∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑) ↔ (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑)))
9	3, 8	syl6ibr 161	1 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 829  ∀wal 1346  ∃wex 1485  ∃*wmo 2020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023

This theorem is referenced by:  2euswapdc  2110