Theorem 2moswapdc 2171

Description: A condition allowing swap of "at most one" and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2moswapdc	⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))

Proof of Theorem 2moswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1545	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦𝜑
2	1	moexexdc 2165	. . 3 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → ((∃*𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑)))
3	2	expcomd 1487	. 2 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))))
4		19.8a 1639	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦𝜑)
5	4	pm4.71ri 392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
6	5	exbii 1654	. . . 4 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
7	6	mobii 2117	. . 3 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥𝜑 ↔ ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
8	7	imbi2i 226	. 2 ⊢ ((∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑) ↔ (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑)))
9	3, 8	imbitrrdi 162	1 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842  ∀wal 1396  ∃wex 1541  ∃*wmo 2081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084

This theorem is referenced by:  2euswapdc  2172