Theorem 2moswapdc 2104

Description: A condition allowing swap of "at most one" and existential quantifiers. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2moswapdc	⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))

Proof of Theorem 2moswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1484	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦𝜑
2	1	moexexdc 2098	. . 3 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → ((∃*𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜑) → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑)))
3	2	expcomd 1429	. 2 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))))
4		19.8a 1578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦𝜑)
5	4	pm4.71ri 390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
6	5	exbii 1593	. . . 4 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
7	6	mobii 2051	. . 3 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥𝜑 ↔ ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑))
8	7	imbi2i 225	. 2 ⊢ ((∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑) ↔ (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ 𝜑)))
9	3, 8	syl6ibr 161	1 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜑 → (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824  ∀wal 1341  ∃wex 1480  ∃*wmo 2015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018

This theorem is referenced by:  2euswapdc  2105