Theorem 2exeu 2067

Description: Double existential uniqueness implies double unique existential quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2exeu	⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥∃!𝑦𝜑)

Proof of Theorem 2exeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1625	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑥∃𝑦𝜑)
2		hbe1 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∀𝑥∃𝑥𝜑)
3	2	hbmo 2014	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥𝜑 → ∀𝑥∃*𝑦∃𝑥𝜑)
4	3	19.41h 1646	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
5		19.8a 1552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜑)
6	5	moimi 2040	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥𝜑 → ∃*𝑦𝜑)
7	6	anim2i 337	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → (∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
8	7	eximi 1562	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
9	4, 8	sylbir 134	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
10	1, 9	sylanb 280	. . . 4 ⊢ ((∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
11		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) → ∃𝑦𝜑)
12	11	moimi 2040	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
13	12	adantl 273	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) → ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
14	10, 13	anim12i 334	. . 3 ⊢ (((∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) ∧ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑)) → (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
15	14	ancoms 266	. 2 ⊢ (((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) ∧ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑)) → (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
16		eu5 2022	. . 3 ⊢ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑))
17		eu5 2022	. . 3 ⊢ (∃!𝑦∃𝑥𝜑 ↔ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
18	16, 17	anbi12i 453	. 2 ⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) ↔ ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) ∧ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))
19		eu5 2022	. . 3 ⊢ (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃!𝑦𝜑))
20		eu5 2022	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
21	20	exbii 1567	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
22	20	mobii 2012	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
23	21, 22	anbi12i 453	. . 3 ⊢ ((∃𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃!𝑦𝜑) ↔ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
24	19, 23	bitri 183	. 2 ⊢ (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
25	15, 18, 24	3imtr4i 200	1 ⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥∃!𝑦𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃wex 1451  ∃!weu 1975  ∃*wmo 1976

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979

This theorem is referenced by: (None)