ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2exeu GIF version

Theorem 2exeu 2040
Description: Double existential uniqueness implies double unique existential quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2exeu ((∃!𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦𝑥𝜑) → ∃!𝑥∃!𝑦𝜑)

Proof of Theorem 2exeu
StepHypRef Expression
1 excom 1599 . . . . 5 (∃𝑦𝑥𝜑 ↔ ∃𝑥𝑦𝜑)
2 hbe1 1429 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝜑 → ∀𝑥𝑥𝜑)
32hbmo 1987 . . . . . . 7 (∃*𝑦𝑥𝜑 → ∀𝑥∃*𝑦𝑥𝜑)
4319.41h 1620 . . . . . 6 (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑) ↔ (∃𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑))
5 19.8a 1527 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥𝜑)
65moimi 2013 . . . . . . . 8 (∃*𝑦𝑥𝜑 → ∃*𝑦𝜑)
76anim2i 334 . . . . . . 7 ((∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑) → (∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
87eximi 1536 . . . . . 6 (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
94, 8sylbir 133 . . . . 5 ((∃𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
101, 9sylanb 278 . . . 4 ((∃𝑦𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
11 simpl 107 . . . . . 6 ((∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) → ∃𝑦𝜑)
1211moimi 2013 . . . . 5 (∃*𝑥𝑦𝜑 → ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
1312adantl 271 . . . 4 ((∃𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥𝑦𝜑) → ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
1410, 13anim12i 331 . . 3 (((∃𝑦𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑) ∧ (∃𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥𝑦𝜑)) → (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
1514ancoms 264 . 2 (((∃𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥𝑦𝜑) ∧ (∃𝑦𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑)) → (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
16 eu5 1995 . . 3 (∃!𝑥𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥𝑦𝜑))
17 eu5 1995 . . 3 (∃!𝑦𝑥𝜑 ↔ (∃𝑦𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑))
1816, 17anbi12i 448 . 2 ((∃!𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦𝑥𝜑) ↔ ((∃𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥𝑦𝜑) ∧ (∃𝑦𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦𝑥𝜑)))
19 eu5 1995 . . 3 (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃!𝑦𝜑))
20 eu5 1995 . . . . 5 (∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
2120exbii 1541 . . . 4 (∃𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
2220mobii 1985 . . . 4 (∃*𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
2321, 22anbi12i 448 . . 3 ((∃𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃!𝑦𝜑) ↔ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
2419, 23bitri 182 . 2 (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
2515, 18, 243imtr4i 199 1 ((∃!𝑥𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦𝑥𝜑) → ∃!𝑥∃!𝑦𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wex 1426  ∃!weu 1948  ∃*wmo 1949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator