Theorem 2exeu 2118

Description: Double existential uniqueness implies double unique existential quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2exeu	⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥∃!𝑦𝜑)

Proof of Theorem 2exeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1664	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑥∃𝑦𝜑)
2		hbe1 1495	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∀𝑥∃𝑥𝜑)
3	2	hbmo 2065	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥𝜑 → ∀𝑥∃*𝑦∃𝑥𝜑)
4	3	19.41h 1685	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
5		19.8a 1590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜑)
6	5	moimi 2091	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥𝜑 → ∃*𝑦𝜑)
7	6	anim2i 342	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → (∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
8	7	eximi 1600	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
9	4, 8	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
10	1, 9	sylanb 284	. . . 4 ⊢ ((∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) → ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
11		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) → ∃𝑦𝜑)
12	11	moimi 2091	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥∃𝑦𝜑 → ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) → ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
14	10, 13	anim12i 338	. . 3 ⊢ (((∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑) ∧ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑)) → (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
15	14	ancoms 268	. 2 ⊢ (((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) ∧ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑)) → (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
16		eu5 2073	. . 3 ⊢ (∃!𝑥∃𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑))
17		eu5 2073	. . 3 ⊢ (∃!𝑦∃𝑥𝜑 ↔ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑))
18	16, 17	anbi12i 460	. 2 ⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) ↔ ((∃𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃𝑦𝜑) ∧ (∃𝑦∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑦∃𝑥𝜑)))
19		eu5 2073	. . 3 ⊢ (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃!𝑦𝜑))
20		eu5 2073	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
21	20	exbii 1605	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ ∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
22	20	mobii 2063	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑))
23	21, 22	anbi12i 460	. . 3 ⊢ ((∃𝑥∃!𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑥∃!𝑦𝜑) ↔ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
24	19, 23	bitri 184	. 2 ⊢ (∃!𝑥∃!𝑦𝜑 ↔ (∃𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑) ∧ ∃*𝑥(∃𝑦𝜑 ∧ ∃*𝑦𝜑)))
25	15, 18, 24	3imtr4i 201	1 ⊢ ((∃!𝑥∃𝑦𝜑 ∧ ∃!𝑦∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥∃!𝑦𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1492  ∃!weu 2026  ∃*wmo 2027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030

This theorem is referenced by: (None)