Theorem eu5 2060

Description: Uniqueness in terms of "at most one." (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eu5	⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))

Proof of Theorem eu5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2043	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ∃𝑥𝜑)
2		eumo 2045	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ∃*𝑥𝜑)
3	1, 2	jca 304	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))
4		df-mo 2017	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
5	4	biimpi 119	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
6	5	imp 123	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥𝜑)
7	6	ancoms 266	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → ∃!𝑥𝜑)
8	3, 7	impbii 125	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∃wex 1479  ∃!weu 2013  ∃*wmo 2014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017

This theorem is referenced by:  exmoeu2  2061  euan  2069  eu4  2075  euim  2081  euexex  2098  2euex  2100  2euswapdc  2104  2exeu  2105  reu5  2676  reuss2  3397  funcnv3  5244  fnres  5298  fnopabg  5305  brprcneu  5473  dff3im  5624  recmulnqg  7323  uptx  12815