Theorem eu5 2128

Description: Uniqueness in terms of "at most one". (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eu5	⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))

Proof of Theorem eu5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2110	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ∃𝑥𝜑)
2		eumo 2112	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ∃*𝑥𝜑)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))
4		df-mo 2084	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
6	5	imp 124	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥𝜑)
7	6	ancoms 268	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → ∃!𝑥𝜑)
8	3, 7	impbii 126	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1541  ∃!weu 2080  ∃*wmo 2081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084

This theorem is referenced by:  exmoeu2  2129  euan  2137  eu4  2143  euim  2149  euexex  2166  2euex  2168  2euswapdc  2172  2exeu  2173  reu5  2762  reuss2  3501  funcnv3  5418  fnres  5475  fnopabg  5482  brprcneu  5663  dff3im  5822  recmulnqg  7706  uptx  15139