Theorem eu5 2127

Description: Uniqueness in terms of "at most one". (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eu5	⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))

Proof of Theorem eu5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2109	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ∃𝑥𝜑)
2		eumo 2111	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → ∃*𝑥𝜑)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))
4		df-mo 2083	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
6	5	imp 124	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑥𝜑)
7	6	ancoms 268	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → ∃!𝑥𝜑)
8	3, 7	impbii 126	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1540  ∃!weu 2079  ∃*wmo 2080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083

This theorem is referenced by:  exmoeu2  2128  euan  2136  eu4  2142  euim  2148  euexex  2165  2euex  2167  2euswapdc  2171  2exeu  2172  reu5  2751  reuss2  3487  funcnv3  5392  fnres  5449  fnopabg  5456  brprcneu  5632  dff3im  5792  recmulnqg  7610  uptx  14997