Theorem reeanv 2701

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2700	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514

This theorem is referenced by:  3reeanv  2702  fliftfun  5932  tfrlem5  6475  eroveu  6790  erovlem  6791  xpf1o  7025  genprndl  7731  genprndu  7732  ltpopr  7805  ltsopr  7806  cauappcvgprlemdisj  7861  caucvgprlemdisj  7884  caucvgprprlemdisj  7912  exbtwnzlemex  10499  rebtwn2z  10504  rexanre  11771  summodc  11934  prodmodclem2  12128  prodmodc  12129  dvds2lem  12354  odd2np1  12424  opoe  12446  omoe  12447  opeo  12448  omeo  12449  gcddiv  12580  divgcdcoprmex  12664  pcqmul  12866  pcadd  12903  mul4sq  12957  4sqlem12  12965  dvdsrtr  14105  unitgrp  14120  lss1d  14387  znidom  14661  tgcl  14778  restbasg  14882  txuni2  14970  txbas  14972  txcnp  14985  blin2  15146  tgqioo  15269  plyadd  15465  plymul  15466  mul2sq  15835  2sqlem5  15838  uhgr2edg  16045