Theorem reeanv 2704

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2703	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517

This theorem is referenced by:  3reeanv  2705  fliftfun  5947  tfrlem5  6523  eroveu  6838  erovlem  6839  xpf1o  7073  genprndl  7784  genprndu  7785  ltpopr  7858  ltsopr  7859  cauappcvgprlemdisj  7914  caucvgprlemdisj  7937  caucvgprprlemdisj  7965  exbtwnzlemex  10555  rebtwn2z  10560  rexanre  11843  summodc  12007  prodmodclem2  12201  prodmodc  12202  dvds2lem  12427  odd2np1  12497  opoe  12519  omoe  12520  opeo  12521  omeo  12522  gcddiv  12653  divgcdcoprmex  12737  pcqmul  12939  pcadd  12976  mul4sq  13030  4sqlem12  13038  dvdsrtr  14179  unitgrp  14194  lss1d  14462  znidom  14736  tgcl  14858  restbasg  14962  txuni2  15050  txbas  15052  txcnp  15065  blin2  15226  tgqioo  15349  plyadd  15545  plymul  15546  mul2sq  15918  2sqlem5  15921  uhgr2edg  16130