Theorem reeanv 2667

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2666	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481

This theorem is referenced by:  3reeanv  2668  fliftfun  5846  tfrlem5  6381  eroveu  6694  erovlem  6695  xpf1o  6914  genprndl  7607  genprndu  7608  ltpopr  7681  ltsopr  7682  cauappcvgprlemdisj  7737  caucvgprlemdisj  7760  caucvgprprlemdisj  7788  exbtwnzlemex  10358  rebtwn2z  10363  rexanre  11404  summodc  11567  prodmodclem2  11761  prodmodc  11762  dvds2lem  11987  odd2np1  12057  opoe  12079  omoe  12080  opeo  12081  omeo  12082  gcddiv  12213  divgcdcoprmex  12297  pcqmul  12499  pcadd  12536  mul4sq  12590  4sqlem12  12598  dvdsrtr  13735  unitgrp  13750  lss1d  14017  znidom  14291  tgcl  14408  restbasg  14512  txuni2  14600  txbas  14602  txcnp  14615  blin2  14776  tgqioo  14899  plyadd  15095  plymul  15096  mul2sq  15465  2sqlem5  15468