Theorem reeanv 2715

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2714	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528

This theorem is referenced by:  3reeanv  2716  fliftfun  5975  tfrlem5  6558  eroveu  6873  erovlem  6874  xpf1o  7110  genprndl  7852  genprndu  7853  ltpopr  7926  ltsopr  7927  cauappcvgprlemdisj  7982  caucvgprlemdisj  8005  caucvgprprlemdisj  8033  exbtwnzlemex  10633  rebtwn2z  10638  rexanre  11930  summodc  12094  prodmodclem2  12288  prodmodc  12289  dvds2lem  12514  odd2np1  12584  opoe  12606  omoe  12607  opeo  12608  omeo  12609  gcddiv  12740  divgcdcoprmex  12824  pcqmul  13026  pcadd  13063  mul4sq  13117  4sqlem12  13125  dvdsrtr  14346  unitgrp  14361  lss1d  14657  znidom  14931  tgcl  15055  restbasg  15159  txuni2  15247  txbas  15249  txcnp  15262  blin2  15423  tgqioo  15546  plyadd  15742  plymul  15743  mul2sq  16115  2sqlem5  16118  uhgr2edg  16327