Theorem reeanv 2664

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2663	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478

This theorem is referenced by:  3reeanv  2665  fliftfun  5840  tfrlem5  6369  eroveu  6682  erovlem  6683  xpf1o  6902  genprndl  7583  genprndu  7584  ltpopr  7657  ltsopr  7658  cauappcvgprlemdisj  7713  caucvgprlemdisj  7736  caucvgprprlemdisj  7764  exbtwnzlemex  10321  rebtwn2z  10326  rexanre  11367  summodc  11529  prodmodclem2  11723  prodmodc  11724  dvds2lem  11949  odd2np1  12017  opoe  12039  omoe  12040  opeo  12041  omeo  12042  gcddiv  12159  divgcdcoprmex  12243  pcqmul  12444  pcadd  12481  mul4sq  12535  4sqlem12  12543  dvdsrtr  13600  unitgrp  13615  lss1d  13882  znidom  14156  tgcl  14243  restbasg  14347  txuni2  14435  txbas  14437  txcnp  14450  blin2  14611  tgqioo  14734  plyadd  14930  plymul  14931  mul2sq  15273  2sqlem5  15276