Theorem reeanv 2667

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1542	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2666	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481

This theorem is referenced by:  3reeanv  2668  fliftfun  5846  tfrlem5  6381  eroveu  6694  erovlem  6695  xpf1o  6914  genprndl  7605  genprndu  7606  ltpopr  7679  ltsopr  7680  cauappcvgprlemdisj  7735  caucvgprlemdisj  7758  caucvgprprlemdisj  7786  exbtwnzlemex  10356  rebtwn2z  10361  rexanre  11402  summodc  11565  prodmodclem2  11759  prodmodc  11760  dvds2lem  11985  odd2np1  12055  opoe  12077  omoe  12078  opeo  12079  omeo  12080  gcddiv  12211  divgcdcoprmex  12295  pcqmul  12497  pcadd  12534  mul4sq  12588  4sqlem12  12596  dvdsrtr  13733  unitgrp  13748  lss1d  14015  znidom  14289  tgcl  14384  restbasg  14488  txuni2  14576  txbas  14578  txcnp  14591  blin2  14752  tgqioo  14875  plyadd  15071  plymul  15072  mul2sq  15441  2sqlem5  15444