Theorem reeanv 2721

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2720	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534

This theorem is referenced by:  3reeanv  2722  fliftfun  5992  tfrlem5  6575  eroveu  6890  erovlem  6891  xpf1o  7134  genprndl  7878  genprndu  7879  ltpopr  7952  ltsopr  7953  cauappcvgprlemdisj  8008  caucvgprlemdisj  8031  caucvgprprlemdisj  8059  exbtwnzlemex  10662  rebtwn2z  10667  rexanre  11964  summodc  12128  prodmodclem2  12322  prodmodc  12323  dvds2lem  12548  odd2np1  12618  opoe  12640  omoe  12641  opeo  12642  omeo  12643  gcddiv  12774  divgcdcoprmex  12858  pcqmul  13060  pcadd  13097  mul4sq  13151  4sqlem12  13159  dvdsrtr  14381  unitgrp  14396  lss1d  14692  znidom  14964  tgcl  15088  restbasg  15192  txuni2  15280  txbas  15282  txcnp  15295  blin2  15456  tgqioo  15579  plyadd  15775  plymul  15776  mul2sq  16149  2sqlem5  16152  uhgr2edg  16361