Theorem reeanv 2664

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 9-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
reeanv	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3	1, 2	reean 2663	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wrex 2473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478

This theorem is referenced by:  3reeanv  2665  fliftfun  5839  tfrlem5  6367  eroveu  6680  erovlem  6681  xpf1o  6900  genprndl  7581  genprndu  7582  ltpopr  7655  ltsopr  7656  cauappcvgprlemdisj  7711  caucvgprlemdisj  7734  caucvgprprlemdisj  7762  exbtwnzlemex  10318  rebtwn2z  10323  rexanre  11364  summodc  11526  prodmodclem2  11720  prodmodc  11721  dvds2lem  11946  odd2np1  12014  opoe  12036  omoe  12037  opeo  12038  omeo  12039  gcddiv  12156  divgcdcoprmex  12240  pcqmul  12441  pcadd  12478  mul4sq  12532  4sqlem12  12540  dvdsrtr  13597  unitgrp  13612  lss1d  13879  znidom  14145  tgcl  14232  restbasg  14336  txuni2  14424  txbas  14426  txcnp  14439  blin2  14600  tgqioo  14715  plyadd  14897  plymul  14898  mul2sq  15203  2sqlem5  15206