Theorem rexbii 2557

Description: Inference adding restricted existential quantifier to both sides of an equivalence. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralbii.1	⊢ (𝜑 ↔ 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
rexbii	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Proof of Theorem rexbii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralbii.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ 𝜓)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	rexbidv 2551	. 2 ⊢ (⊤ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
4	3	mptru 1411	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105  ⊤wtru 1403  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-rex 2534

This theorem is used by:  2rexbii  2559  r19.29r  2689  r19.42v  2708  rexcom13  2717  rexrot4  2718  3reeanv  2722  cbvrex2vw  2798  cbvrex2v  2800  rexcom4  2845  rexcom4a  2846  rexcom4b  2847  ceqsrex2v  2958  clel5  2963  reu7  3021  0el  3544  iuncom  4018  iuncom4  4019  iuniin  4022  dfiunv2  4048  iunab  4059  iunin2  4076  iundif2ss  4078  iunun  4091  iunxiun  4094  iunpwss  4104  inuni  4291  iunopab  4424  sucel  4555  iunpw  4626  xpiundi  4833  xpiundir  4834  reliin  4899  rexxpf  4927  iunxpf  4928  cnvuni  4966  dmiun  4990  dfima3  5129  rniun  5198  dminxp  5232  imaco  5293  coiun  5297  isarep1  5467  rexrn  5845  ralrn  5846  elrnrexdmb  5848  fnasrn  5887  fnasrng  5889  foima2  5957  rexima  5960  ralima  5961  abrexco  5965  imaiun  5966  fliftcnv  6001  abrexex2g  6349  abrexex2  6353  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemaccex  6632  tfrcldm  6634  qsid  6874  eroveu  6900  ixp0  7013  infmoti  7369  eldju  7409  ficardon  7535  genpdflem  7875  genpassl  7892  genpassu  7893  nqprm  7910  nqprrnd  7911  ltnqpr  7961  ltnqpri  7962  ltexprlemm  7968  ltexprlemopl  7969  ltexprlemopu  7971  caucvgprprlemaddq  8076  caucvgprprlem1  8077  suplocexprlemml  8084  suplocexprlemloc  8089  caucvgsrlemgt1  8163  elreal  8196  axcaucvglemres  8267  axpre-suploc  8270  dfinfre  9289  suprzclex  9749  supinfneg  10005  infsupneg  10006  ublbneg  10023  4fvwrd4  10558  infssuzex  10677  caucvgre  11762  rexanuz  11769  rexfiuz  11770  resqrexlemglsq  11803  resqrexlemsqa  11805  resqrexlemex  11806  rersqreu  11809  clim0  12069  cbvsum  12144  fsum3  12172  mertenslem2  12321  cbvprod  12343  fprodseq  12368  divalgb  12710  bezoutlemmain  12793  bezoutlemex  12796  pythagtriplem2  13067  pythagtriplem19  13083  pythagtrip  13084  pceu  13096  ennnfoneleminc  13353  ennnfonelemex  13356  ennnfonelemr  13365  imasaddfnlemg  13686  tgval2  15204  ntreq0  15285  metrest  15659  plyun0  15889  clwwlknun  16804  ralsbii  17264