Theorem dvelimdc 2249

Description: Deduction form of dvelimc 2250. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvelimdc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvelimdc.2	⊢ Ⅎ𝑧𝜑
dvelimdc.3	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
dvelimdc.4	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑧𝐵)
dvelimdc.5	⊢ (𝜑 → (𝑧 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvelimdc	⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → Ⅎ𝑥𝐵))

Proof of Theorem dvelimdc

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1467	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦)
2		dvelimdc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		dvelimdc.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
4		dvelimdc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	4	nfcrd 2243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐴)
6		dvelimdc.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑧𝐵)
7	6	nfcrd 2243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑧 𝑤 ∈ 𝐵)
8		dvelimdc.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐵))
9		eleq2 2152	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐵))
10	8, 9	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 = 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐵)))
11	2, 3, 5, 7, 10	dvelimdf 1941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐵))
12	11	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦) → Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ 𝐵)
13	1, 12	nfcd 2224	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦) → Ⅎ𝑥𝐵)
14	13	ex 114	1 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 𝑥 = 𝑦 → Ⅎ𝑥𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1288   = wceq 1290  Ⅎwnf 1395   ∈ wcel 1439  Ⅎwnfc 2216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218

This theorem is referenced by:  dvelimc  2250