ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0m GIF version

Theorem nqnq0m 7456
Description: Multiplication of positive fractions is equal with ยทQ or ยทQ0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0m ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))

Proof of Theorem nqnq0m
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7379 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
2 nqpi 7379 . . . 4 (๐ต โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ))
31, 2anim12i 338 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆง โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )))
4 ee4anv 1934 . . 3 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข(((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )) โ†” (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆง โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )))
53, 4sylibr 134 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข(((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )))
6 oveq12 5886 . . . . . . 7 ((๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ))
7 mulpiord 7318 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ง ยทo ๐‘ฃ))
87ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ง ยทo ๐‘ฃ))
9 mulpiord 7318 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ข))
109ad2ant2l 508 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ข))
118, 10opeq12d 3788 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทo ๐‘ข)โŸฉ)
1211eceq1d 6573 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทo ๐‘ข)โŸฉ] ~Q0 )
13 mulpipqqs 7374 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
14 mulclpi 7329 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
1514ad2ant2r 509 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
16 mulclpi 7329 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1716ad2ant2l 508 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
18 nqnq0pi 7439 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
1915, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q )
2013, 19eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทN ๐‘ข)โŸฉ] ~Q0 )
21 pinn 7310 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ N โ†’ ๐‘ง โˆˆ ฯ‰)
2221anim1i 340 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N))
23 pinn 7310 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ โˆˆ N โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰)
2423anim1i 340 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))
25 mulnnnq0 7451 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทo ๐‘ข)โŸฉ] ~Q0 )
2622, 24, 25syl2an 289 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฃ), (๐‘ค ยทo ๐‘ข)โŸฉ] ~Q0 )
2712, 20, 263eqtr4d 2220 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ยทQ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ))
286, 27sylan9eqr 2232 . . . . . 6 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ))
29 nqnq0pi 7439 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )
3029adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q )
3130eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โ†” ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
32 nqnq0pi 7439 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )
3332adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )
3433eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ (๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 โ†” ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q ))
3531, 34anbi12d 473 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ) โ†” (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )))
3635pm5.32i 454 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 )) โ†” (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )))
37 oveq12 5886 . . . . . . . 8 ((๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ))
3837adantl 277 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 )) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ))
3936, 38sylbir 135 . . . . . 6 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q0 ))
4028, 39eqtr4d 2213 . . . . 5 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โˆง (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
4140an4s 588 . . . 4 ((((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
4241exlimivv 1896 . . 3 (โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข(((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
4342exlimivv 1896 . 2 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข(((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆง ((๐‘ฃ โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ] ~Q )) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
445, 43syl 14 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3597  ฯ‰com 4591  (class class class)co 5877   ยทo comu 6417  [cec 6535  Ncnpi 7273   ยทN cmi 7275   ~Q ceq 7280  Qcnq 7281   ยทQ cmq 7284   ~Q0 ceq0 7287   ยทQ0 cmq0 7291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-mqqs 7351  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-mq0 7429
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7495  prarloclemcalc  7503
  Copyright terms: Public domain W3C validator