ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ref GIF version

Theorem enq0ref 7446
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7448. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ref (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†” ๐‘“ ~Q0 ๐‘“)

Proof of Theorem enq0ref
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4654 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค(๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)))
2 elxpi 4654 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข(๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N)))
3 ee4anv 1944 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))) โ†” (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค(๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข(๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))))
41, 2, 3sylanbrc 417 . . . . 5 (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))))
5 eqtr2 2206 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โ†’ โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ)
6 vex 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ง โˆˆ V
7 vex 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ค โˆˆ V
86, 7opth 4249 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โ†” (๐‘ง = ๐‘ฃ โˆง ๐‘ค = ๐‘ข))
95, 8sylib 122 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โ†’ (๐‘ง = ๐‘ฃ โˆง ๐‘ค = ๐‘ข))
10 oveq1 5895 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข))
11 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = ๐‘ค โ†’ (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค))
1211equcoms 1718 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค))
1310, 12sylan9eq 2240 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง = ๐‘ฃ โˆง ๐‘ค = ๐‘ข) โ†’ (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค))
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โ†’ (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค))
1514ancli 323 . . . . . . . . 9 ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โ†’ ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค)))
1615ad2ant2r 509 . . . . . . . 8 (((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))) โ†’ ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค)))
17 pinn 7322 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค โˆˆ N โ†’ ๐‘ค โˆˆ ฯ‰)
18 nnmcom 6504 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))
1917, 18sylan2 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))
2019eqeq2d 2199 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค) โ†” (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
2120ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค) โ†” (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
2221ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค) โ†” (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
2322ad2ant2l 508 . . . . . . . . 9 (((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))) โ†’ ((๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค) โ†” (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
2423anbi2d 464 . . . . . . . 8 (((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))) โ†’ (((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ค)) โ†” ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
2516, 24mpbid 147 . . . . . . 7 (((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))) โ†’ ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
26252eximi 1611 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
27262eximi 1611 . . . . 5 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โˆง (๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ข โˆˆ N))) โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
284, 27syl 14 . . . 4 (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))
2928ancli 323 . . 3 (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
30 vex 2752 . . . . 5 ๐‘“ โˆˆ V
31 eleq1 2250 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†” ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)))
3231anbi1d 465 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โ†” (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))))
33 eqeq1 2194 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โ†” ๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ))
3433anbi1d 465 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โ†” (๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ)))
3534anbi1d 465 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)) โ†” ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
36354exbidv 1880 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
3732, 36anbi12d 473 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘“ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))) โ†” ((๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))))
38 eleq1 2250 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†” ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)))
3938anbi2d 464 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โ†” (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))))
40 eqeq1 2194 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ โ†” ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ))
4140anbi2d 464 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โ†” (๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ)))
4241anbi1d 465 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)) โ†” ((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
43424exbidv 1880 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)) โ†” โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
4439, 43anbi12d 473 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘“ โ†’ (((๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))) โ†” ((๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))))
45 df-enq0 7437 . . . . 5 ~Q0 = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))}
4630, 30, 37, 44, 45brab 4284 . . . 4 (๐‘“ ~Q0 ๐‘“ โ†” ((๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
47 anidm 396 . . . . 5 ((๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โ†” ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))
4847anbi1i 458 . . . 4 (((๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))) โ†” (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
4946, 48bitri 184 . . 3 (๐‘“ ~Q0 ๐‘“ โ†” (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘“ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘“ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ))))
5029, 49sylibr 134 . 2 (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†’ ๐‘“ ~Q0 ๐‘“)
5149simplbi 274 . 2 (๐‘“ ~Q0 ๐‘“ โ†’ ๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N))
5250, 51impbii 126 1 (๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†” ๐‘“ ~Q0 ๐‘“)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363  โˆƒwex 1502   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  ฯ‰com 4601   ร— cxp 4636  (class class class)co 5888   ยทo comu 6429  Ncnpi 7285   ~Q0 ceq0 7299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-ni 7317  df-enq0 7437
This theorem is referenced by:  enq0er  7448
  Copyright terms: Public domain W3C validator