ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq GIF version

Theorem ltdcnq 7053
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq ((𝐴Q𝐵Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7034 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2 nqpi 7034 . . . 4 (𝐵Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
31, 2anim12i 332 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
4 ee4anv 1864 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
53, 4sylibr 133 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
6 mulclpi 6984 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
7 mulclpi 6984 . . . . . . . . 9 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
8 ltdcpi 6979 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
96, 7, 8syl2an 284 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
109an42s 557 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
11 ordpipqqs 7030 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
1211dcbid 789 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~QDECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
1310, 12mpbird 166 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
1413ad2ant2r 494 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
15 breq12 3872 . . . . . . 7 ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
1615ad2ant2l 493 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
1716dcbid 789 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (DECID 𝐴 <Q 𝐵DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
1814, 17mpbird 166 . . . 4 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
1918exlimivv 1831 . . 3 (∃𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
2019exlimivv 1831 . 2 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
215, 20syl 14 1 ((𝐴Q𝐵Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 783   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  cop 3469   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  [cec 6330  Ncnpi 6928   ·N cmi 6930   <N clti 6931   ~Q ceq 6935  Qcnq 6936   <Q cltq 6941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-mi 6962  df-lti 6963  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7240  distrlem4pru  7241
  Copyright terms: Public domain W3C validator