Theorem ltdcnq 7617

Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

Proof of Theorem ltdcnq

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2		nqpi 7598	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
4		ee4anv 1987	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
5	3, 4	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
6		mulclpi 7548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
7		mulclpi 7548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
8		ltdcpi 7543	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
10	9	an42s 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
11		ordpipqqs 7594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
12	11	dcbid 845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
14	13	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
15		breq12 4093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
16	15	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
17	16	dcbid 845	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (DECID 𝐴 <Q 𝐵 ↔ DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
18	14, 17	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
19	18	exlimivv 1945	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
20	19	exlimivv 1945	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
21	5, 20	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  [cec 6700  Ncnpi 7492   ·_N cmi 7494   <_N clti 7495   ~_Q ceq 7499  Qcnq 7500   <_Q cltq 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-mi 7526  df-lti 7527  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-ltnqqs 7573

This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7804  distrlem4pru  7805