Theorem ltdcnq 7371

Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

Proof of Theorem ltdcnq

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2		nqpi 7352	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
4		ee4anv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
5	3, 4	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
6		mulclpi 7302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
7		mulclpi 7302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
8		ltdcpi 7297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
10	9	an42s 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
11		ordpipqqs 7348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
12	11	dcbid 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
14	13	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
15		breq12 4003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
16	15	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
17	16	dcbid 838	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (DECID 𝐴 <Q 𝐵 ↔ DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
18	14, 17	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
19	18	exlimivv 1894	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
20	19	exlimivv 1894	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
21	5, 20	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  ∃wex 1490   ∈ wcel 2146  ⟨cop 3592   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  [cec 6523  Ncnpi 7246   ·_N cmi 7248   <_N clti 7249   ~_Q ceq 7253  Qcnq 7254   <_Q cltq 7259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-mi 7280  df-lti 7281  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-ltnqqs 7327

This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7558  distrlem4pru  7559