ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq GIF version

Theorem ltdcnq 7392
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq ((𝐴Q𝐵Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7373 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2 nqpi 7373 . . . 4 (𝐵Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
31, 2anim12i 338 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
4 ee4anv 1934 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
53, 4sylibr 134 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
6 mulclpi 7323 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
7 mulclpi 7323 . . . . . . . . 9 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
8 ltdcpi 7318 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
109an42s 589 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
11 ordpipqqs 7369 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
1211dcbid 838 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~QDECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
1310, 12mpbird 167 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
1413ad2ant2r 509 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
15 breq12 4007 . . . . . . 7 ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
1615ad2ant2l 508 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
1716dcbid 838 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (DECID 𝐴 <Q 𝐵DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
1814, 17mpbird 167 . . . 4 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
1918exlimivv 1896 . . 3 (∃𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
2019exlimivv 1896 . 2 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
215, 20syl 14 1 ((𝐴Q𝐵Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  cop 3595   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871  [cec 6529  Ncnpi 7267   ·N cmi 7269   <N clti 7270   ~Q ceq 7274  Qcnq 7275   <Q cltq 7280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-eprel 4288  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-oadd 6417  df-omul 6418  df-er 6531  df-ec 6533  df-qs 6537  df-ni 7299  df-mi 7301  df-lti 7302  df-enq 7342  df-nqqs 7343  df-ltnqqs 7348
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7579  distrlem4pru  7580
  Copyright terms: Public domain W3C validator