Theorem ltdcnq 7771

Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

Proof of Theorem ltdcnq

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7752	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2		nqpi 7752	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
4		ee4anv 1994	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
5	3, 4	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )))
6		mulclpi 7702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
7		mulclpi 7702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
8		ltdcpi 7697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
10	9	an42s 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧))
11		ordpipqqs 7748	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
12	11	dcbid 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ DECID (𝑥 ·N 𝑤) <N (𝑦 ·N 𝑧)))
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
14	13	ad2ant2r 513	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
15		breq12 4136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
16	15	ad2ant2l 512	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
17	16	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → (DECID 𝐴 <Q 𝐵 ↔ DECID [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
18	14, 17	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
19	18	exlimivv 1952	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
20	19	exlimivv 1952	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)
21	5, 20	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → DECID 𝐴 <Q 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  [cec 6809  Ncnpi 7646   ·_N cmi 7648   <_N clti 7649   ~_Q ceq 7653  Qcnq 7654   <_Q cltq 7659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7678  df-mi 7680  df-lti 7681  df-enq 7721  df-nqqs 7722  df-ltnqqs 7727

This theorem is used by:  distrlem4prl  7958  distrlem4pru  7959