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Theorem nqpnq0nq 7225
Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq ((𝐴Q𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7150 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2 nq0nn 7214 . . . 4 (𝐵Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
31, 2anim12i 334 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q0) → (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
4 ee4anv 1884 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
53, 4sylibr 133 . 2 ((𝐴Q𝐵Q0) → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
6 oveq12 5749 . . . . . . 7 ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
76ad2ant2l 497 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
8 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . . 10 ((𝑥N𝑦N) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
98oveq1d 5755 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
109adantr 272 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
11 pinn 7081 . . . . . . . . 9 (𝑥N𝑥 ∈ ω)
12 addnnnq0 7221 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
1311, 12sylanl1 397 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
1410, 13eqtr3d 2150 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
1514ad2ant2r 498 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
167, 15eqtrd 2148 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
17 pinn 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
18 nnmcl 6343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
1917, 18sylan 279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦N𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
2019ad2ant2lr 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
21 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑥 ·o 𝑤))
22 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
2321, 22eqeltrrd 2193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N)
2423ad2ant2rl 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N)
25 pinn 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ·o 𝑤) ∈ N → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
26 nnacom 6346 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) = ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)))
2725, 26sylan2 282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) = ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)))
2820, 24, 27syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) = ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)))
29 nnppipi 7115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) ∈ N)
3020, 24, 29syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) ∈ N)
3128, 30eqeltrrd 2193 . . . . . . . . . 10 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N)
32 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
33 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
3432, 33eqeltrrd 2193 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
3534ad2ant2l 497 . . . . . . . . . 10 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
36 opelxpi 4539 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
3731, 35, 36syl2anc 406 . . . . . . . . 9 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
38 enqex 7132 . . . . . . . . . 10 ~Q ∈ V
3938ecelqsi 6449 . . . . . . . . 9 (⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 7120 . . . . . . . 8 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2209 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~QQ)
43 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q )
4443eleq1d 2184 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0Q ↔ [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~QQ))
4531, 35, 44syl2anc 406 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0Q ↔ [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~QQ))
4642, 45mpbird 166 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0Q)
4746ad2ant2r 498 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0Q)
4816, 47eqeltrd 2192 . . . 4 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
4948exlimivv 1850 . . 3 (∃𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
5049exlimivv 1850 . 2 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
515, 50syl 14 1 ((𝐴Q𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  cop 3498  ωcom 4472   × cxp 4505  (class class class)co 5740   +o coa 6276   ·o comu 6277  [cec 6393   / cqs 6394  Ncnpi 7044   ·N cmi 7046   ~Q ceq 7051  Qcnq 7052   ~Q0 ceq0 7058  Q0cnq0 7059   +Q0 cplq0 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-mi 7078  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-plq0 7199
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7274
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