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Theorem nqpnq0nq 6991
Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq ((𝐴Q𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6916 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2 nq0nn 6980 . . . 4 (𝐵Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
31, 2anim12i 331 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q0) → (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
4 ee4anv 1857 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
53, 4sylibr 132 . 2 ((𝐴Q𝐵Q0) → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
6 oveq12 5643 . . . . . . 7 ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
76ad2ant2l 492 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
8 nqnq0pi 6976 . . . . . . . . . 10 ((𝑥N𝑦N) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
98oveq1d 5649 . . . . . . . . 9 ((𝑥N𝑦N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
109adantr 270 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
11 pinn 6847 . . . . . . . . 9 (𝑥N𝑥 ∈ ω)
12 addnnnq0 6987 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
1311, 12sylanl1 394 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
1410, 13eqtr3d 2122 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
1514ad2ant2r 493 . . . . . 6 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
167, 15eqtrd 2120 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
17 pinn 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
18 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
1917, 18sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦N𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
2019ad2ant2lr 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω)
21 mulpiord 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑥 ·𝑜 𝑤))
22 mulclpi 6866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
2321, 22eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
2423ad2ant2rl 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
25 pinn 6847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N → (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
26 nnacom 6227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ ω) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) = ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
2725, 26sylan2 280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) = ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
2820, 24, 27syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) = ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)))
29 nnppipi 6881 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·𝑜 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) ∈ N)
3020, 24, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑦 ·𝑜 𝑧) +𝑜 (𝑥 ·𝑜 𝑤)) ∈ N)
3128, 30eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . 10 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N)
32 mulpiord 6855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·𝑜 𝑤))
33 mulclpi 6866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
3432, 33eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
3534ad2ant2l 492 . . . . . . . . . 10 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N)
36 opelxpi 4459 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
3731, 35, 36syl2anc 403 . . . . . . . . 9 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
38 enqex 6898 . . . . . . . . . 10 ~Q ∈ V
3938ecelqsi 6326 . . . . . . . . 9 (⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6886 . . . . . . . 8 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2181 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~QQ)
43 nqnq0pi 6976 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q )
4443eleq1d 2156 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) ∈ N) → ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q ↔ [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~QQ))
4531, 35, 44syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q ↔ [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~QQ))
4642, 45mpbird 165 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q)
4746ad2ant2r 493 . . . . 5 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → [⟨((𝑥 ·𝑜 𝑤) +𝑜 (𝑦 ·𝑜 𝑧)), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0Q)
4816, 47eqeltrd 2164 . . . 4 ((((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
4948exlimivv 1824 . . 3 (∃𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
5049exlimivv 1824 . 2 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥N𝑦N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
515, 50syl 14 1 ((𝐴Q𝐵Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  cop 3444  ωcom 4395   × cxp 4426  (class class class)co 5634   +𝑜 coa 6160   ·𝑜 comu 6161  [cec 6270   / cqs 6271  Ncnpi 6810   ·N cmi 6812   ~Q ceq 6817  Qcnq 6818   ~Q0 ceq0 6824  Q0cnq0 6825   +Q0 cplq0 6827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-mi 6844  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-plq0 6965
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7040
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