Theorem nqpnq0nq 7573

Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpnq0nq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem nqpnq0nq

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7498	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ))
2		nq0nn 7562	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q0 → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
4		ee4anv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
5	3, 4	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q0) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
6		oveq12 5960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
7	6	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
8		nqnq0pi 7558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q )
9	8	oveq1d 5966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
11		pinn 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ N → 𝑥 ∈ ω)
12		addnnnq0 7569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
13	11, 12	sylanl1 402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
14	10, 13	eqtr3d 2241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
16	7, 15	eqtrd 2239	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
17		pinn 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
18		nnmcl 6574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
19	17, 18	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
20	19	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω)
21		mulpiord 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) = (𝑥 ·o 𝑤))
22		mulclpi 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
23	21, 22	eqeltrrd 2284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N)
24	23	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N)
25		pinn 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ·o 𝑤) ∈ N → (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω)
26		nnacom 6577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·o 𝑤) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) = ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)))
27	25, 26	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) = ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)))
28	20, 24, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) = ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)))
29		nnppipi 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑥 ·o 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) ∈ N)
30	20, 24, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑧) +o (𝑥 ·o 𝑤)) ∈ N)
31	28, 30	eqeltrrd 2284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N)
32		mulpiord 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
33		mulclpi 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
34	32, 33	eqeltrrd 2284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
35	34	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
36		opelxpi 4711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
37	31, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
38		enqex 7480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ~Q ∈ V
39	38	ecelqsi 6683	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41		df-nqqs 7468	. . . . . . . 8 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
42	40, 41	eleqtrrdi 2300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q ∈ Q)
43		nqnq0pi 7558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q )
44	43	eleq1d 2275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ Q ↔ [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q ∈ Q))
45	31, 35, 44	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ Q ↔ [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q ∈ Q))
46	42, 45	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ Q)
47	46	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 ∈ Q)
48	16, 47	eqeltrd 2283	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
49	48	exlimivv 1921	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
50	49	exlimivv 1921	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)
51	5, 50	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 +Q0 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3637  ωcom 4642   × cxp 4677  (class class class)co 5951   +_o coa 6506   ·_o comu 6507  [cec 6625   / cqs 6626  Ncnpi 7392   ·_N cmi 7394   ~_Q ceq 7399  Qcnq 7400   ~_Q0 ceq0 7406  Q₀cnq0 7407   +_Q0 cplq0 7409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-mi 7426  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-enq0 7544  df-nq0 7545  df-plq0 7547

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7622