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Theorem nqnq0a 7226
Description: Addition of positive fractions is equal with +Q or +Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0a ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))

Proof of Theorem nqnq0a
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7150 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2 nqpi 7150 . . . 4 (𝐵Q → ∃𝑣𝑢((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ))
31, 2anim12i 334 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
4 ee4anv 1884 . . 3 (∃𝑧𝑤𝑣𝑢(((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) ↔ (∃𝑧𝑤((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
53, 4sylibr 133 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ∃𝑧𝑤𝑣𝑢(((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
6 oveq12 5749 . . . . . . 7 ((𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ))
7 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
87ad2ant2rl 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
9 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
109ad2ant2lr 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
11 addpiord 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·N 𝑢) +o (𝑤 ·N 𝑣)))
128, 10, 11syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·N 𝑢) +o (𝑤 ·N 𝑣)))
13 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑢) = (𝑧 ·o 𝑢))
1413ad2ant2rl 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑧 ·N 𝑢) = (𝑧 ·o 𝑢))
15 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤N𝑣N) → (𝑤 ·N 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑣))
1615ad2ant2lr 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑣))
1714, 16oveq12d 5758 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +o (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))
1812, 17eqtrd 2148 . . . . . . . . . 10 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))
19 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
2019ad2ant2l 497 . . . . . . . . . 10 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
2118, 20opeq12d 3681 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩ = ⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩)
2221eceq1d 6431 . . . . . . . 8 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
23 addpipqqs 7142 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
24 addclpi 7099 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
258, 10, 24syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
26 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
2726ad2ant2l 497 . . . . . . . . . 10 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
2925, 27, 28syl2anc 406 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
3023, 29eqtr4d 2151 . . . . . . . 8 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 )
31 pinn 7081 . . . . . . . . . 10 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
3231anim1i 336 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N))
33 pinn 7081 . . . . . . . . . 10 (𝑣N𝑣 ∈ ω)
3433anim1i 336 . . . . . . . . 9 ((𝑣N𝑢N) → (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))
35 addnnnq0 7221 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
3632, 34, 35syl2an 285 . . . . . . . 8 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
3722, 30, 363eqtr4d 2158 . . . . . . 7 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
386, 37sylan9eqr 2170 . . . . . 6 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
39 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
4039adantr 272 . . . . . . . . . 10 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
4140eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
42 nqnq0pi 7210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣N𝑢N) → [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )
4342adantl 273 . . . . . . . . . 10 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )
4443eqeq2d 2127 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → (𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ))
4541, 44anbi12d 462 . . . . . . . 8 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) → ((𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
4645pm5.32i 447 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
47 oveq12 5749 . . . . . . . 8 ((𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
4847adantl 273 . . . . . . 7 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
4946, 48sylbir 134 . . . . . 6 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
5038, 49eqtr4d 2151 . . . . 5 ((((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑣N𝑢N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
5150an4s 560 . . . 4 ((((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
5251exlimivv 1850 . . 3 (∃𝑣𝑢(((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
5352exlimivv 1850 . 2 (∃𝑧𝑤𝑣𝑢(((𝑧N𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣N𝑢N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
545, 53syl 14 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  cop 3498  ωcom 4472  (class class class)co 5740   +o coa 6276   ·o comu 6277  [cec 6393  Ncnpi 7044   +N cpli 7045   ·N cmi 7046   ~Q ceq 7051  Qcnq 7052   +Q cplq 7054   ~Q0 ceq0 7058   +Q0 cplq0 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-plpq 7116  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-plq0 7199
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7266  prarloclemcalc  7274
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