Theorem nqnq0a 7514

Description: Addition of positive fractions is equal with +_Q or +_Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0a	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))

Proof of Theorem nqnq0a

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
2		nqpi 7438	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ∃𝑣∃𝑢((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ))
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑣∃𝑢((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
4		ee4anv 1950	. . 3 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) ↔ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ∃𝑣∃𝑢((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
5	3, 4	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
6		oveq12 5927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ))
7		mulclpi 7388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
8	7	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) ∈ N)
9		mulclpi 7388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
10	9	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N)
11		addpiord 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·N 𝑢) +o (𝑤 ·N 𝑣)))
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·N 𝑢) +o (𝑤 ·N 𝑣)))
13		mulpiord 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑢) = (𝑧 ·o 𝑢))
14	13	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑢) = (𝑧 ·o 𝑢))
15		mulpiord 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑣))
16	15	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑣) = (𝑤 ·o 𝑣))
17	14, 16	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +o (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))
18	12, 17	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) = ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))
19		mulpiord 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
21	18, 20	opeq12d 3812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩ = ⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩)
22	21	eceq1d 6623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
23		addpipqqs 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
24		addclpi 7387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑣) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
25	8, 10, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N)
26		mulclpi 7388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
27	26	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
28		nqnq0pi 7498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
29	25, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q )
30	23, 29	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = [⟨((𝑧 ·N 𝑢) +N (𝑤 ·N 𝑣)), (𝑤 ·N 𝑢)⟩] ~Q0 )
31		pinn 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
32	31	anim1i 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N))
33		pinn 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → 𝑣 ∈ ω)
34	33	anim1i 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))
35		addnnnq0 7509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
36	32, 34, 35	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
37	22, 30, 36	3eqtr4d 2236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q +Q [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
38	6, 37	sylan9eqr 2248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
39		nqnq0pi 7498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
41	40	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ↔ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
42		nqnq0pi 7498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )
44	43	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ↔ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ))
45	41, 44	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
46	45	pm5.32i 454	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )))
47		oveq12 5927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
48	47	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
49	46, 48	sylbir 135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q0 𝐵) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
50	38, 49	eqtr4d 2229	. . . . 5 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
51	50	an4s 588	. . . 4 ⊢ ((((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
52	51	exlimivv 1908	. . 3 ⊢ (∃𝑣∃𝑢(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
53	52	exlimivv 1908	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢(((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∧ ((𝑣 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ 𝐵 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q )) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))
54	5, 53	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐴 +Q0 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621  ωcom 4622  (class class class)co 5918   +_o coa 6466   ·_o comu 6467  [cec 6585  Ncnpi 7332   +_N cpli 7333   ·_N cmi 7334   ~_Q ceq 7339  Qcnq 7340   +_Q cplq 7342   ~_Q0 ceq0 7346   +_Q0 cplq0 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-plpq 7404  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-plq0 7487

This theorem is referenced by:  prarloclemlo  7554  prarloclemcalc  7562