Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcl GIF version

Theorem axmulcl 7674
 Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcl 7718 be used later. Instead, in most cases use mulcl 7747. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem axmulcl
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4555 . . . . 5 (𝐴 ∈ (R × R) → ∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)))
2 df-c 7626 . . . . 5 ℂ = (R × R)
31, 2eleq2s 2234 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)))
4 elxpi 4555 . . . . 5 (𝐵 ∈ (R × R) → ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R)))
54, 2eleq2s 2234 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R)))
63, 5anim12i 336 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))))
7 ee4anv 1906 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) ↔ (∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))))
86, 7sylibr 133 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))))
9 simpll 518 . . . . . . 7 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
10 simprl 520 . . . . . . 7 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
119, 10oveq12d 5792 . . . . . 6 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 · 𝐵) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ · ⟨𝑧, 𝑤⟩))
12 mulcnsr 7643 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · ⟨𝑧, 𝑤⟩) = ⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩)
1312ad2ant2l 499 . . . . . 6 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · ⟨𝑧, 𝑤⟩) = ⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩)
1411, 13eqtrd 2172 . . . . 5 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 · 𝐵) = ⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩)
15 simplrl 524 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝑥R)
16 simprrl 528 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝑧R)
17 mulclsr 7562 . . . . . . . . 9 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
1815, 16, 17syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
19 m1r 7560 . . . . . . . . . 10 -1RR
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → -1RR)
21 simplrr 525 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝑦R)
22 simprrr 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝑤R)
23 mulclsr 7562 . . . . . . . . . 10 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
2421, 22, 23syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
25 mulclsr 7562 . . . . . . . . 9 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
2620, 24, 25syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
27 addclsr 7561 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
2818, 26, 27syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
29 mulclsr 7562 . . . . . . . . 9 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
3021, 16, 29syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
31 mulclsr 7562 . . . . . . . . 9 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
3215, 22, 31syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
33 addclsr 7561 . . . . . . . 8 (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
3430, 32, 33syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
35 opelxpi 4571 . . . . . . 7 ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) → ⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩ ∈ (R × R))
3628, 34, 35syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → ⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩ ∈ (R × R))
3736, 2eleqtrrdi 2233 . . . . 5 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → ⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩ ∈ ℂ)
3814, 37eqeltrd 2216 . . . 4 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3938exlimivv 1868 . . 3 (∃𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4039exlimivv 1868 . 2 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
418, 40syl 14 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3530   × cxp 4537  (class class class)co 5774  Rcnr 7105  -1Rcm1r 7108   +R cplr 7109   ·R cmr 7110  ℂcc 7618   · cmul 7625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-imp 7277  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-mr 7537  df-m1r 7541  df-c 7626  df-mul 7632 This theorem is referenced by:  axmulf  7677
 Copyright terms: Public domain W3C validator