Theorem eliota 5242

Description: An element of an iota expression. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eliota	⊢ (𝐴 ∈ (℩𝑥𝜑) ↔ ∃𝑦(𝐴 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem eliota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiota2 5216	. . 3 ⊢ (℩𝑥𝜑) = ∪ {𝑦 ∣ ∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦)}
2	1	eleq2i 2260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (℩𝑥𝜑) ↔ 𝐴 ∈ ∪ {𝑦 ∣ ∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦)})
3		eluniab 3847	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ {𝑦 ∣ ∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦)} ↔ ∃𝑦(𝐴 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦)))
4	2, 3	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ (℩𝑥𝜑) ↔ ∃𝑦(𝐴 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥(𝜑 ↔ 𝑥 = 𝑦)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∪ cuni 3835  ℩cio 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-sn 3624  df-uni 3836  df-iota 5215

This theorem is referenced by:  eliotaeu  5243