Theorem moi 2913

Description: Equality implied by "at most one". (Contributed by NM, 18-Feb-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
moi.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
moi.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
moi	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)) → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem moi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		moi.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3	1, 2	mob 2912	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))
4	3	biimprd 157	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜒 → 𝐴 = 𝐵))
5	4	3expia 1200	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑) → (𝜓 → (𝜒 → 𝐴 = 𝐵)))
6	5	impd 252	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑) → ((𝜓 ∧ 𝜒) → 𝐴 = 𝐵))
7	6	3impia 1195	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ∃*wmo 2020   ∈ wcel 2141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732

This theorem is referenced by: (None)