Theorem morex 2872

Description: Derive membership from uniqueness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
morex.1	⊢ 𝐵 ∈ V
morex.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
morex	⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → (𝜓 → 𝐵 ∈ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem morex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2423	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2		exancom 1588	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
3	1, 2	bitri 183	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
4		nfmo1 2012	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥𝜑
5		nfe1 1473	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
6	4, 5	nfan 1545	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
7		mopick 2078	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴))
8	6, 7	alrimi 1503	. . . 4 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴))
9		morex.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		morex.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜓))
11		eleq1 2203	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
12	10, 11	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜓 → 𝐵 ∈ 𝐴)))
13	9, 12	spcv 2783	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝐵 ∈ 𝐴))
14	8, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝜓 → 𝐵 ∈ 𝐴))
15	3, 14	sylan2b 285	. 2 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (𝜓 → 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	ancoms 266	1 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → (𝜓 → 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1330   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∃*wmo 2001  ∃wrex 2418  Vcvv 2689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691

This theorem is referenced by: (None)