Theorem mob 2919

Description: Equality implied by "at most one". (Contributed by NM, 18-Feb-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
moi.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
moi.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
mob	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2748	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
2		nfcv 2319	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfv 1528	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ V
4		nfmo1 2038	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥𝜑
5		nfv 1528	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
6	3, 4, 5	nf3an 1566	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓)
7		nfv 1528	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒)
8	6, 7	nfim 1572	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))
9		moi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
10	9	3anbi3d 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜑) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓)))
11		eqeq1 2184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
12	11	bibi1d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 𝐵 ↔ 𝜒) ↔ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒)))
13	10, 12	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜑) → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝜒)) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))))
14		moi.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
15	14	mob2 2917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜑) → (𝑥 = 𝐵 ↔ 𝜒))
16	2, 8, 13, 15	vtoclgf 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒)))
17	16	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒)))
18	17	3expib 1206	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))))
19	1, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))))
20	19	com3r 79	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))))
21	20	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒)))
22	21	3impib 1201	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ ∃*𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃*wmo 2027   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739

This theorem is referenced by:  moi  2920  rmob  3055  2omotaplemst  7252