Theorem rabn0r 3336

Description: Nonempty restricted class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rabn0r	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅)

Proof of Theorem rabn0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0r 3334	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≠ ∅)
2		df-rex 2381	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-rab 2384	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
4	3	neeq1i 2282	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≠ ∅)
5	1, 2, 4	3imtr4i 200	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∃wex 1436   ∈ wcel 1448  {cab 2086   ≠ wne 2267  ∃wrex 2376  {crab 2379  ∅c0 3310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-nul 3311

This theorem is referenced by: (None)