Theorem rabn0r 3548

Description: Nonempty restricted class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rabn0r	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅)

Proof of Theorem rabn0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0r 3546	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≠ ∅)
2		df-rex 2534	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-rab 2537	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
4	3	neeq1i 2435	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≠ ∅)
5	1, 2, 4	3imtr4i 201	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {cab 2224   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529  {crab 2532  ∅c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  ballotfilemfc0  13215  ballotfilemfcc  13216  sgmnncl  16085