Theorem rabn0r 3489

Description: Nonempty restricted class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rabn0r	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅)

Proof of Theorem rabn0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0r 3487	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≠ ∅)
2		df-rex 2491	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-rab 2494	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
4	3	neeq1i 2392	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≠ ∅)
5	1, 2, 4	3imtr4i 201	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  {cab 2192   ≠ wne 2377  ∃wrex 2486  {crab 2489  ∅c0 3462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3170  df-nul 3463

This theorem is referenced by:  sgmnncl  15510