Theorem ssindif0im 3468

Description: Subclass implies empty intersection with difference from the universal class. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ssindif0im	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ (V ∖ 𝐵)) = ∅)

Proof of Theorem ssindif0im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ddifss 3360	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵))
2		sstr 3150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵)))
3	1, 2	mpan2 422	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵)))
4		disj2 3464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ (V ∖ 𝐵)) = ∅ ↔ 𝐴 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵)))
5	3, 4	sylibr 133	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ (V ∖ 𝐵)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343  Vcvv 2726   ∖ cdif 3113   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410

This theorem is referenced by: (None)