Theorem ssindif0im 3474

Description: Subclass implies empty intersection with difference from the universal class. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ssindif0im	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ (V ∖ 𝐵)) = ∅)

Proof of Theorem ssindif0im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ddifss 3365	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵))
2		sstr 3155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵)))
3	1, 2	mpan2 423	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵)))
4		disj2 3470	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ (V ∖ 𝐵)) = ∅ ↔ 𝐴 ⊆ (V ∖ (V ∖ 𝐵)))
5	3, 4	sylibr 133	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ (V ∖ 𝐵)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415

This theorem is referenced by: (None)