Theorem sstr 3191

Description: Transitivity of subclasses. Theorem 6 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 5-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sstr	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3190	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
2	1	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sstrd  3193  sylan9ss  3196  ssdifss  3293  uneqin  3414  ssindif0im  3510  undifss  3531  ssrnres  5112  relrelss  5196  fco  5423  fssres  5433  ssimaex  5622  tpostpos2  6323  smores  6350  pmss12g  6734  fidcenumlemr  7021  iccsupr  10041  fimaxq  10919  fsum2d  11600  fsumabs  11630  fprod2d  11788  tgval  12933  tgvalex  12934  subrngintm  13768  subrgintm  13799  ssnei  14387  opnneiss  14394  restdis  14420  tgcnp  14445  blssexps  14665  blssex  14666  mopni3  14720  metss  14730  metcnp3  14747  tgioo  14790  cncfmptid  14833  dvmptfsum  14961  plyss  14974