Theorem sstr 3205

Description: Transitivity of subclasses. Theorem 6 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 5-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sstr	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3204	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
2	1	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-in 3176  df-ss 3183

This theorem is referenced by:  sstrd  3207  sylan9ss  3210  ssdifss  3307  uneqin  3428  ssindif0im  3524  undifss  3545  ssrnres  5139  relrelss  5223  fco  5456  fssres  5468  ssimaex  5658  tpostpos2  6369  smores  6396  pmss12g  6780  fidcenumlemr  7078  iccsupr  10118  fimaxq  11004  fsum2d  11831  fsumabs  11861  fprod2d  12019  tgval  13179  tgvalex  13180  subrngintm  14059  subrgintm  14090  ssnei  14708  opnneiss  14715  restdis  14741  tgcnp  14766  blssexps  14986  blssex  14987  mopni3  15041  metss  15051  metcnp3  15068  tgioo  15111  cncfmptid  15154  dvmptfsum  15282  plyss  15295