Theorem sstr 3256

Description: Transitivity of subclasses. Theorem 6 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 5-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sstr	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3255	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
2	1	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sstrd  3258  sylan9ss  3261  ssdifss  3359  uneqin  3482  ssindif0im  3584  undifss  3608  ssrnres  5233  relrelss  5317  fco  5555  fssres  5568  ssimaex  5767  fcof  5897  tpostpos2  6540  smores  6567  pmss12g  6960  fidcenumlemr  7278  iccsupr  10386  fimaxq  11293  fsum2d  12228  fsumabs  12258  fprod2d  12416  ballotfilem2  13287  tgval  13676  tgvalex  13677  cntz2ss  14169  subrngintm  14630  subrgintm  14661  ssnei  15389  opnneiss  15396  restdis  15422  tgcnp  15447  blssexps  15667  blssex  15668  mopni3  15722  metss  15732  metcnp3  15749  tgioo  15792  cncfmptid  15835  dvmptfsum  15963  plyss  15976