Theorem sstr 3212

Description: Transitivity of subclasses. Theorem 6 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 5-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sstr	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3211	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
2	1	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-11 1532  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-ext 2191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-in 3183  df-ss 3190

This theorem is referenced by:  sstrd  3214  sylan9ss  3217  ssdifss  3314  uneqin  3435  ssindif0im  3531  undifss  3552  ssrnres  5147  relrelss  5231  fco  5465  fssres  5477  ssimaex  5668  tpostpos2  6381  smores  6408  pmss12g  6792  fidcenumlemr  7090  iccsupr  10130  fimaxq  11016  fsum2d  11912  fsumabs  11942  fprod2d  12100  tgval  13261  tgvalex  13262  subrngintm  14141  subrgintm  14172  ssnei  14790  opnneiss  14797  restdis  14823  tgcnp  14848  blssexps  15068  blssex  15069  mopni3  15123  metss  15133  metcnp3  15150  tgioo  15193  cncfmptid  15236  dvmptfsum  15364  plyss  15377