Theorem sstr 3192

Description: Transitivity of subclasses. Theorem 6 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 5-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sstr	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3191	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
2	1	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sstrd  3194  sylan9ss  3197  ssdifss  3294  uneqin  3415  ssindif0im  3511  undifss  3532  ssrnres  5113  relrelss  5197  fco  5426  fssres  5436  ssimaex  5625  tpostpos2  6332  smores  6359  pmss12g  6743  fidcenumlemr  7030  iccsupr  10060  fimaxq  10938  fsum2d  11619  fsumabs  11649  fprod2d  11807  tgval  12966  tgvalex  12967  subrngintm  13846  subrgintm  13877  ssnei  14473  opnneiss  14480  restdis  14506  tgcnp  14531  blssexps  14751  blssex  14752  mopni3  14806  metss  14816  metcnp3  14833  tgioo  14876  cncfmptid  14919  dvmptfsum  15047  plyss  15060