Theorem bj-rcleqf 37463

Description: Relative version of cleqf 2951. (Contributed by BJ, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rcleqf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
bj-rcleqf.b	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
bj-rcleqf.v	⊢ Ⅎ𝑥𝑉

Assertion

Ref	Expression
bj-rcleqf	⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem bj-rcleqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3920	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3920	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bibi12i 341	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
4		pm5.32 581	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	3, 4	bitr4i 280	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
6	5	albii 1838	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7		bj-rcleqf.v	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
8		bj-rcleqf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	7, 8	nfin 4176	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐴)
10		bj-rcleqf.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
11	7, 10	nfin 4176	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐵)
12	9, 11	cleqf 2951	. 2 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)))
13		df-ral 3076	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
14	6, 12, 13	3bitr4i 305	1 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∀wal 1557   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3075   ∩ cin 3903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-tru 1562  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-v 3455  df-in 3911

This theorem is referenced by:  bj-rcleq  37464  bj-reabeq  37465