Theorem bj-rcleqf 35142

Description: Relative version of cleqf 2937. (Contributed by BJ, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rcleqf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
bj-rcleqf.b	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
bj-rcleqf.v	⊢ Ⅎ𝑥𝑉

Assertion

Ref	Expression
bj-rcleqf	⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem bj-rcleqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bibi12i 339	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
4		pm5.32 573	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	3, 4	bitr4i 277	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
6	5	albii 1823	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7		bj-rcleqf.v	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
8		bj-rcleqf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	7, 8	nfin 4147	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐴)
10		bj-rcleqf.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
11	7, 10	nfin 4147	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐵)
12	9, 11	cleqf 2937	. 2 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)))
13		df-ral 3068	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
14	6, 12, 13	3bitr4i 302	1 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3063   ∩ cin 3882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1542  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rab 3072  df-v 3424  df-in 3890

This theorem is referenced by:  bj-rcleq  35143  bj-reabeq  35144