Theorem bj-rcleqf 37201

Description: Relative version of cleqf 2928. (Contributed by BJ, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rcleqf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
bj-rcleqf.b	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
bj-rcleqf.v	⊢ Ⅎ𝑥𝑉

Assertion

Ref	Expression
bj-rcleqf	⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem bj-rcleqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bibi12i 339	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
4		pm5.32 573	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	3, 4	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
6	5	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7		bj-rcleqf.v	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
8		bj-rcleqf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	7, 8	nfin 4177	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐴)
10		bj-rcleqf.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
11	7, 10	nfin 4177	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐵)
12	9, 11	cleqf 2928	. 2 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)))
13		df-ral 3053	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
14	6, 12, 13	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052   ∩ cin 3901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-v 3443  df-in 3909

This theorem is referenced by:  bj-rcleq  37202  bj-reabeq  37203