Theorem bj-rcleqf 38030

Description: Relative version of cleqf 2950. (Contributed by BJ, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-rcleqf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
bj-rcleqf.b	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
bj-rcleqf.v	⊢ Ⅎ𝑥𝑉

Assertion

Ref	Expression
bj-rcleqf	⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem bj-rcleqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
2		elin 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bibi12i 342	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
4		pm5.32 584	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
5	3, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
6	5	albii 1851	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
7		bj-rcleqf.v	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
8		bj-rcleqf.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	7, 8	nfin 4121	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐴)
10		bj-rcleqf.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
11	7, 10	nfin 4121	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑉 ∩ 𝐵)
12	9, 11	cleqf 2950	. 2 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ 𝐵)))
13		df-ral 3077	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)))
14	6, 12, 13	3bitr4i 306	1 ⊢ ((𝑉 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076   ∩ cin 4089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-v 3452  df-in 4091

This theorem is used by:  bj-rcleq  38031  bj-reabeq  38032