Theorem en3lplem1 8871

Description: Lemma for en3lp 8873. (Contributed by Alan Sare, 28-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
en3lplem1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem en3lplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eleq2 2854	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝑥 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
3	1, 2	syl5ibrcom 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝑥))
4		tpid3g 4583	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
5	4	3ad2ant3 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6		inelcm 4298	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅)
7	5, 6	sylan2 583	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅)
8	7	expcom 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅))
9	3, 8	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   ∩ cin 3830  ∅c0 4180  {ctp 4446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-ext 2750

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-v 3417  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-nul 4181  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447

This theorem is referenced by:  en3lplem2  8872