Theorem en3lplem1 9592

Description: Lemma for en3lp 9594. (Contributed by Alan Sare, 28-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
en3lplem1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem en3lplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eleq2 2849	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝑥 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
3	1, 2	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐶 ∈ 𝑥))
4		tpid3g 4733	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
5	4	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6		inelcm 4418	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅)
7	5, 6	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅)
8	7	expcom 419	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅))
9	3, 8	syld 48	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {ctp 4588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-nul 4280  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589

This theorem is used by:  en3lplem2  9593