Theorem inpr0 30781

Description: Rewrite an empty intersection with a pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
inpr0	⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem inpr0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3094	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
2		nelpr 30780	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
3	2	elv 3428	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
4	3	imbi2i 335	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
5	4	albii 1823	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
6		disj1 4381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶}))
7		df-ral 3068	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 302	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
9		nelb 3194	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐵)
10		nelb 3194	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶)
11	9, 10	anbi12i 626	. 2 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
12	1, 8, 11	3bitr4i 302	1 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {cpr 4560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-nul 4254  df-sn 4559  df-pr 4561

This theorem is referenced by: (None)