Theorem inpr0 30292

Description: Rewrite an empty intersection with a pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
inpr0	⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem inpr0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3170	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
2		nelpr 30291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
3	2	elv 3499	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
4	3	imbi2i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
5	4	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
6		disj1 4401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵, 𝐶}))
7		df-ral 3143	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
9		nelb 3268	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐵)
10		nelb 3268	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶)
11	9, 10	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
12	1, 8, 11	3bitr4i 305	1 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵, 𝐶}) = ∅ ↔ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ∩ cin 3935  ∅c0 4291  {cpr 4569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-nul 4292  df-sn 4568  df-pr 4570

This theorem is referenced by: (None)