MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn5 21117
Description: The right conjunct in the right hand side of the equivalence of isdomn 21110 is logically equivalent to a less symmetric version where one of the variables is restricted to be nonzero. (Contributed by SN, 16-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
isdomn5 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 ))
Distinct variable group:   0 ,๐‘Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem isdomn5
StepHypRef Expression
1 bi2.04 386 . . . 4 ((ยฌ ๐‘Ž = 0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )) โ†” ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (ยฌ ๐‘Ž = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
2 df-ne 2939 . . . . 5 (๐‘Ž โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘Ž = 0 )
32imbi1i 348 . . . 4 ((๐‘Ž โ‰  0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )) โ†” (ยฌ ๐‘Ž = 0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
4 df-or 844 . . . . 5 ((๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 ) โ†” (ยฌ ๐‘Ž = 0 โ†’ ๐‘ = 0 ))
54imbi2i 335 . . . 4 (((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 )) โ†” ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (ยฌ ๐‘Ž = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
61, 3, 53bitr4ri 303 . . 3 (((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 )) โ†” (๐‘Ž โ‰  0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
762ralbii 3126 . 2 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต (๐‘Ž โ‰  0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
8 r19.21v 3177 . . 3 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต (๐‘Ž โ‰  0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )) โ†” (๐‘Ž โ‰  0 โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
98ralbii 3091 . 2 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต (๐‘Ž โ‰  0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž โ‰  0 โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
10 raldifsnb 4798 . 2 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž โ‰  0 โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 ))
117, 9, 103bitri 296 1 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059   โˆ– cdif 3944  {csn 4627  (class class class)co 7411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-tru 1542  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-v 3474  df-dif 3950  df-sn 4628
This theorem is referenced by:  isdomn4  21118
  Copyright terms: Public domain W3C validator