MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn 20764
Description: Expand definition of a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isdomn.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
isdomn.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
isdomn (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isdomn
Dummy variables ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6857 . . 3 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ V)
2 fveq2 6842 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
3 isdomn.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3eqtr4di 2794 . . 3 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
5 fvexd 6857 . . . 4 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ V)
6 fveq2 6842 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = (0gโ€˜๐‘…))
76adantr 481 . . . . 5 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = (0gโ€˜๐‘…))
8 isdomn.z . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
97, 8eqtr4di 2794 . . . 4 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = 0 )
10 simplr 767 . . . . 5 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
11 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
12 isdomn.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
1311, 12eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
1413oveqdr 7385 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
15 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 0 โ†’ ๐‘ง = 0 )
1614, 15eqeqan12d 2750 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 ))
17 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” ๐‘ฅ = 0 ))
18 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†” ๐‘ฆ = 0 ))
1917, 18orbi12d 917 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
2019adantl 482 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
2116, 20imbi12d 344 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
2210, 21raleqbidv 3319 . . . . 5 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
2310, 22raleqbidv 3319 . . . 4 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
245, 9, 23sbcied2 3786 . . 3 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ([(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ง]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
251, 4, 24sbcied2 3786 . 2 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ([(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ง]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
26 df-domn 20754 . 2 Domn = {๐‘Ÿ โˆˆ NzRing โˆฃ [(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ง]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง))}
2725, 26elrab2 3648 1 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3064  Vcvv 3445  [wsbc 3739  โ€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  NzRingcnzr 20727  Domncdomn 20750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-nul 5263
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-iota 6448  df-fv 6504  df-ov 7360  df-domn 20754
This theorem is referenced by:  domnnzr  20765  domneq0  20767  isdomn2  20769  opprdomn  20771  abvn0b  20772  znfld  20967  ply1domn  25488  fta1b  25534  prmidl0  32223  qsidomlem2  32226  isdomn4  40624  isdomn3  41517
  Copyright terms: Public domain W3C validator