MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn 20910
Description: Expand definition of a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isdomn.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
isdomn.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
isdomn (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isdomn
Dummy variables ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6907 . . 3 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ V)
2 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
3 isdomn.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
42, 3eqtr4di 2791 . . 3 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
5 fvexd 6907 . . . 4 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) โˆˆ V)
6 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = (0gโ€˜๐‘…))
76adantr 482 . . . . 5 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = (0gโ€˜๐‘…))
8 isdomn.z . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
97, 8eqtr4di 2791 . . . 4 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘Ÿ) = 0 )
10 simplr 768 . . . . 5 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
12 isdomn.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
1311, 12eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
1413oveqdr 7437 . . . . . . . 8 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
15 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 0 โ†’ ๐‘ง = 0 )
1614, 15eqeqan12d 2747 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 ))
17 eqeq2 2745 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” ๐‘ฅ = 0 ))
18 eqeq2 2745 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†” ๐‘ฆ = 0 ))
1917, 18orbi12d 918 . . . . . . . 8 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
2019adantl 483 . . . . . . 7 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ ((๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 )))
2116, 20imbi12d 345 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
2210, 21raleqbidv 3343 . . . . 5 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
2310, 22raleqbidv 3343 . . . 4 (((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง ๐‘ง = 0 ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
245, 9, 23sbcied2 3825 . . 3 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ([(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ง]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
251, 4, 24sbcied2 3825 . 2 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ([(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ง]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
26 df-domn 20900 . 2 Domn = {๐‘Ÿ โˆˆ NzRing โˆฃ [(Baseโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘][(0gโ€˜๐‘Ÿ) / ๐‘ง]โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฆ) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘ง))}
2725, 26elrab2 3687 1 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = 0 โ†’ (๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475  [wsbc 3778  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  NzRingcnzr 20291  Domncdomn 20896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-domn 20900
This theorem is referenced by:  domnnzr  20911  domneq0  20913  isdomn2  20915  isdomn4  20918  opprdomn  20919  abvn0b  20920  znfld  21116  ply1domn  25641  fta1b  25687  prmidl0  32600  qsidomlem2  32603  isdomn3  41994
  Copyright terms: Public domain W3C validator