Theorem isdomn4 20619

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the left cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   · ,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isdomn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20609	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		isdomn4.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isdomn4.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		domnring 20610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		eldifi 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
12	2, 3, 4, 6, 9, 10, 11	ringsubdi 20210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)))
13	12	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 ↔ ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ))
14		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
15	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifsni 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ≠ 0 )
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ≠ 0 )
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ≠ 0 )
19	5	ringgrpd 20145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
20	2, 4	grpsubcl 18917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
22	21	3adant3r1 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )
25		isdomn4.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26	2, 3, 25	domnmuln0 20612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ≠ 0 ) ∧ ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
27	14, 15, 18, 23, 24, 26	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 ))
29	28	necon4d 2949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
30	13, 29	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
31	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
33	2, 3	ringcl 20153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
34	5, 7, 32, 33	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
35	34	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
36		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
37	2, 3	ringcl 20153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
38	5, 7, 36, 37	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
39	38	3adant3r2 1184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
40	2, 25, 4	grpsubeq0 18923	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
41	31, 35, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
42	2, 25, 4	grpsubeq0 18923	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
43	31, 10, 11, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
44	30, 41, 43	3imtr3d 293	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
45	44	ralrimivvva 3175	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
46	1, 45	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
47		nzrring 20419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
48	47	ringgrpd 20145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
49	2, 25	grpidcl 18862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ∈ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ 𝐵)
52		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑎 · 0 ))
53	52	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 )))
54		eqeq2 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑏 = 0 ))
55	53, 54	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
56	55	rspcv 3575	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
57	51, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
58	2, 3, 25	ringrz 20197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
59	47, 7, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
60	59	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
61	60	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 ))
62	61	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 ) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
63	57, 62	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
64	63	ralimdvva 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
65		isdomn5 20613	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
66	64, 65	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
67	66	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
68	2, 3, 25	isdomn 20608	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
69	67, 68	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → 𝑅 ∈ Domn)
70	46, 69	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830  -_gcsg 18832  Ringcrg 20136  NzRingcnzr 20415  Domncdomn 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20416  df-domn 20598

This theorem is referenced by:  isdomn4r  20622  domnlcanb  20623  domnlcanOLD  33229