Theorem isdomn4 40100

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   · ,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isdomn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20479	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		isdomn4.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isdomn4.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		domnring 20480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		eldifi 4057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
12	2, 3, 4, 6, 9, 10, 11	ringsubdi 19753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)))
13	12	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 ↔ ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ))
14		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
15	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifsni 4720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ≠ 0 )
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ≠ 0 )
18	17	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ≠ 0 )
19	5	ringgrpd 19707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
20	2, 4	grpsubcl 18570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl3an1 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
22	21	3adant3r1 1180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )
25		isdomn4.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26	2, 3, 25	domnmuln0 20482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ≠ 0 ) ∧ ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
27	14, 15, 18, 23, 24, 26	syl122anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 ))
29	28	necon4d 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
30	13, 29	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
31	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
33	2, 3	ringcl 19715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
34	5, 7, 32, 33	syl3an 1158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
35	34	3adant3r3 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
36		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
37	2, 3	ringcl 19715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
38	5, 7, 36, 37	syl3an 1158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
39	38	3adant3r2 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
40	2, 25, 4	grpsubeq0 18576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
41	31, 35, 39, 40	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
42	2, 25, 4	grpsubeq0 18576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
43	31, 10, 11, 42	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
44	30, 41, 43	3imtr3d 292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
45	44	ralrimivvva 3115	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
46	1, 45	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
47		nzrring 20445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
48	47	ringgrpd 19707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
49	2, 25	grpidcl 18522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ∈ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ 𝐵)
52		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑎 · 0 ))
53	52	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 )))
54		eqeq2 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑏 = 0 ))
55	53, 54	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
56	55	rspcv 3547	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
57	51, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
58	2, 3, 25	ringrz 19742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
59	47, 7, 58	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
60	59	adantrr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
61	60	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 ))
62	61	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 ) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
63	57, 62	sylibd 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
64	63	ralimdvva 3104	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
65		isdomn5 40099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
66	64, 65	syl6ibr 251	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
67	66	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
68	2, 3, 25	isdomn 20478	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
69	67, 68	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → 𝑅 ∈ Domn)
70	46, 69	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  Ringcrg 19698  NzRingcnzr 20441  Domncdomn 20464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-nzr 20442  df-domn 20468

This theorem is referenced by: (None)