MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn4 21238
Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn4.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isdomn4.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
isdomn4.x ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
isdomn4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘   0 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘   ยท ,๐‘   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem isdomn4
StepHypRef Expression
1 domnnzr 21231 . . 3 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
2 isdomn4.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 isdomn4.x . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4 eqid 2727 . . . . . . . 8 (-gโ€˜๐‘…) = (-gโ€˜๐‘…)
5 domnring 21232 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
7 eldifi 4122 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
873ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
10 simpr2 1193 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
11 simpr3 1194 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
122, 3, 4, 6, 9, 10, 11ringsubdi 20232 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘Ž ยท ๐‘)(-gโ€˜๐‘…)(๐‘Ž ยท ๐‘)))
1312eqeq1d 2729 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘)) = 0 โ†” ((๐‘Ž ยท ๐‘)(-gโ€˜๐‘…)(๐‘Ž ยท ๐‘)) = 0 ))
14 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
159adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
16 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘Ž โ‰  0 )
17163ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โ‰  0 )
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 ) โ†’ ๐‘Ž โ‰  0 )
195ringgrpd 20173 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
202, 4grpsubcl 18967 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
2119, 20syl3an1 1161 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
22213adant3r1 1180 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 ) โ†’ (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
24 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 ) โ†’ (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 )
25 isdomn4.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gโ€˜๐‘…)
262, 3, 25domnmuln0 21234 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โ‰  0 ) โˆง ((๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 )) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘)) โ‰  0 )
2714, 15, 18, 23, 24, 26syl122anc 1377 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 ) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘)) โ‰  0 )
2827ex 412 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) โ‰  0 โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘)) โ‰  0 ))
2928necon4d 2959 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž ยท (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘)) = 0 โ†’ (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) = 0 ))
3013, 29sylbird 260 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘)(-gโ€˜๐‘…)(๐‘Ž ยท ๐‘)) = 0 โ†’ (๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) = 0 ))
3119adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
32 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
332, 3ringcl 20181 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
345, 7, 32, 33syl3an 1158 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
35343adant3r3 1182 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
36 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
372, 3ringcl 20181 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
385, 7, 36, 37syl3an 1158 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
39383adant3r2 1181 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
402, 25, 4grpsubeq0 18973 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘)(-gโ€˜๐‘…)(๐‘Ž ยท ๐‘)) = 0 โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
4131, 35, 39, 40syl3anc 1369 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘)(-gโ€˜๐‘…)(๐‘Ž ยท ๐‘)) = 0 โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘)))
422, 25, 4grpsubeq0 18973 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) = 0 โ†” ๐‘ = ๐‘))
4331, 10, 11, 42syl3anc 1369 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘(-gโ€˜๐‘…)๐‘) = 0 โ†” ๐‘ = ๐‘))
4430, 41, 433imtr3d 293 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘))
4544ralrimivvva 3198 . . 3 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘))
461, 45jca 511 . 2 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘)))
47 nzrring 20444 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ NzRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
4847ringgrpd 20173 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ NzRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
492, 25grpidcl 18913 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Grp โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ NzRing โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
52 oveq2 7422 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท 0 ))
5352eqeq2d 2738 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท 0 )))
54 eqeq2 2739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ = ๐‘ โ†” ๐‘ = 0 ))
5553, 54imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘) โ†” ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ ๐‘ = 0 )))
5655rspcv 3603 . . . . . . . 8 ( 0 โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ ๐‘ = 0 )))
5751, 56syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ ๐‘ = 0 )))
582, 3, 25ringrz 20219 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
5947, 7, 58syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
6059adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
6160eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 ))
6261imbi1d 341 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ ๐‘ = 0 ) โ†” ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
6357, 62sylibd 238 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
6463ralimdvva 3199 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ NzRing โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 )))
65 isdomn5 21237 . . . . 5 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 )) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ ๐‘ = 0 ))
6664, 65imbitrrdi 251 . . . 4 (๐‘… โˆˆ NzRing โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 ))))
6766imdistani 568 . . 3 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘)) โ†’ (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 ))))
682, 3, 25isdomn 21230 . . 3 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = 0 โ†’ (๐‘Ž = 0 โˆจ ๐‘ = 0 ))))
6967, 68sylibr 233 . 2 ((๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
7046, 69impbii 208 1 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Ž ยท ๐‘) = (๐‘Ž ยท ๐‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056   โˆ– cdif 3941  {csn 4624  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  Ringcrg 20164  NzRingcnzr 20440  Domncdomn 21216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-nzr 20441  df-domn 21220
This theorem is referenced by:  domnlcan  32914
  Copyright terms: Public domain W3C validator