Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdomn4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn4 40624
Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn4.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4.0 0 = (0g𝑅)
isdomn4.x · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isdomn4 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   · ,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isdomn4
StepHypRef Expression
1 domnnzr 20765 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 isdomn4.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 isdomn4.x . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
4 eqid 2736 . . . . . . . 8 (-g𝑅) = (-g𝑅)
5 domnring 20766 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
7 eldifi 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎𝐵)
873ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
98adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑎𝐵)
10 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑏𝐵)
11 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
122, 3, 4, 6, 9, 10, 11ringsubdi 20023 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎 · (𝑏(-g𝑅)𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏)(-g𝑅)(𝑎 · 𝑐)))
1312eqeq1d 2738 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g𝑅)𝑐)) = 0 ↔ ((𝑎 · 𝑏)(-g𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ))
14 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
159adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎𝐵)
16 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎0 )
17163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → 𝑎0 )
1817ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎0 )
195ringgrpd 19973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
202, 4grpsubcl 18827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
2119, 20syl3an1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
22213adant3r1 1182 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 )
25 isdomn4.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
262, 3, 25domnmuln0 20768 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎𝐵𝑎0 ) ∧ ((𝑏(-g𝑅)𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 )) → (𝑎 · (𝑏(-g𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
2714, 15, 18, 23, 24, 26syl122anc 1379 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑎 · (𝑏(-g𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
2827ex 413 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑏(-g𝑅)𝑐) ≠ 0 → (𝑎 · (𝑏(-g𝑅)𝑐)) ≠ 0 ))
2928necon4d 2967 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g𝑅)𝑐)) = 0 → (𝑏(-g𝑅)𝑐) = 0 ))
3013, 29sylbird 259 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 → (𝑏(-g𝑅)𝑐) = 0 ))
3119adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
32 id 22 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵𝑏𝐵)
332, 3ringcl 19981 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
345, 7, 32, 33syl3an 1160 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
35343adant3r3 1184 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
36 id 22 . . . . . . . 8 (𝑐𝐵𝑐𝐵)
372, 3ringcl 19981 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
385, 7, 36, 37syl3an 1160 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
39383adant3r2 1183 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
402, 25, 4grpsubeq0 18833 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (((𝑎 · 𝑏)(-g𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
4131, 35, 39, 40syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
422, 25, 4grpsubeq0 18833 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → ((𝑏(-g𝑅)𝑐) = 0𝑏 = 𝑐))
4331, 10, 11, 42syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑏(-g𝑅)𝑐) = 0𝑏 = 𝑐))
4430, 41, 433imtr3d 292 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
4544ralrimivvva 3200 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
461, 45jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
47 nzrring 20731 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4847ringgrpd 19973 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
492, 25grpidcl 18778 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → 0𝐵)
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵)) → 0𝐵)
52 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 0 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑎 · 0 ))
5352eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 )))
54 eqeq2 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 0 → (𝑏 = 𝑐𝑏 = 0 ))
5553, 54imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 0 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
5655rspcv 3577 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → (∀𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
5751, 56syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵)) → (∀𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
582, 3, 25ringrz 20012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
5947, 7, 58syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
6059adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
6160eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 ))
6261imbi1d 341 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 ) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0𝑏 = 0 )))
6357, 62sylibd 238 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏𝐵)) → (∀𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = 0𝑏 = 0 )))
6463ralimdvva 3201 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0𝑏 = 0 )))
65 isdomn5 40623 . . . . 5 (∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0𝑏 = 0 )) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0𝑏 = 0 ))
6664, 65syl6ibr 251 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0𝑏 = 0 ))))
6766imdistani 569 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0𝑏 = 0 ))))
682, 3, 25isdomn 20764 . . 3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0𝑏 = 0 ))))
6967, 68sylibr 233 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → 𝑅 ∈ Domn)
7046, 69impbii 208 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3907  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  Ringcrg 19964  NzRingcnzr 20727  Domncdomn 20750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-nzr 20728  df-domn 20754
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator