Theorem isdomn4 20649

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the left cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   · ,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isdomn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20639	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		isdomn4.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isdomn4.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		domnring 20640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		eldifi 4083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
12	2, 3, 4, 6, 9, 10, 11	ringsubdi 20242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)))
13	12	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 ↔ ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ))
14		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
15	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifsni 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ≠ 0 )
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ≠ 0 )
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ≠ 0 )
19	5	ringgrpd 20177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
20	2, 4	grpsubcl 18950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
22	21	3adant3r1 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )
25		isdomn4.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26	2, 3, 25	domnmuln0 20642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ≠ 0 ) ∧ ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
27	14, 15, 18, 23, 24, 26	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 ))
29	28	necon4d 2956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
30	13, 29	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
31	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
33	2, 3	ringcl 20185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
34	5, 7, 32, 33	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
35	34	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
36		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
37	2, 3	ringcl 20185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
38	5, 7, 36, 37	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
39	38	3adant3r2 1184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
40	2, 25, 4	grpsubeq0 18956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
41	31, 35, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
42	2, 25, 4	grpsubeq0 18956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
43	31, 10, 11, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
44	30, 41, 43	3imtr3d 293	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
45	44	ralrimivvva 3182	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
46	1, 45	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
47		nzrring 20449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
48	47	ringgrpd 20177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
49	2, 25	grpidcl 18895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ∈ 𝐵)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ 𝐵)
52		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑎 · 0 ))
53	52	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 )))
54		eqeq2 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑏 = 0 ))
55	53, 54	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
56	55	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
57	51, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
58	2, 3, 25	ringrz 20229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
59	47, 7, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
60	59	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
61	60	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 ))
62	61	imbi1d 341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 ) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
63	57, 62	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
64	63	ralimdvva 3183	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
65		isdomn5 20643	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
66	64, 65	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
67	66	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
68	2, 3, 25	isdomn 20638	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
69	67, 68	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → 𝑅 ∈ Domn)
70	46, 69	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  Ringcrg 20168  NzRingcnzr 20445  Domncdomn 20625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-nzr 20446  df-domn 20628

This theorem is referenced by:  isdomn4r  20652  domnlcanb  20653  domnlcanOLD  33362