Theorem isdomn4 39835

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   · ,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isdomn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20287	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		isdomn4.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isdomn4.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		domnring 20288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		eldifi 4027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
12	2, 3, 4, 6, 9, 10, 11	ringsubdi 19571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)))
13	12	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 ↔ ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ))
14		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
15	9	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifsni 4689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ≠ 0 )
17	16	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ≠ 0 )
18	17	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ≠ 0 )
19	5	ringgrpd 19525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
20	2, 4	grpsubcl 18397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl3an1 1165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
22	21	3adant3r1 1184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
24		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )
25		isdomn4.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26	2, 3, 25	domnmuln0 20290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ≠ 0 ) ∧ ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
27	14, 15, 18, 23, 24, 26	syl122anc 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
28	27	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 ))
29	28	necon4d 2956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
30	13, 29	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
31	19	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
33	2, 3	ringcl 19533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
34	5, 7, 32, 33	syl3an 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
35	34	3adant3r3 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
36		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
37	2, 3	ringcl 19533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
38	5, 7, 36, 37	syl3an 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
39	38	3adant3r2 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
40	2, 25, 4	grpsubeq0 18403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
41	31, 35, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
42	2, 25, 4	grpsubeq0 18403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
43	31, 10, 11, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
44	30, 41, 43	3imtr3d 296	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
45	44	ralrimivvva 3103	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
46	1, 45	jca 515	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
47		nzrring 20253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
48	47	ringgrpd 19525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
49	2, 25	grpidcl 18349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ∈ 𝐵)
51	50	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ 𝐵)
52		oveq2 7199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑎 · 0 ))
53	52	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 )))
54		eqeq2 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑏 = 0 ))
55	53, 54	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
56	55	rspcv 3522	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
57	51, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
58	2, 3, 25	ringrz 19560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
59	47, 7, 58	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
60	59	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
61	60	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 ))
62	61	imbi1d 345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 ) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
63	57, 62	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
64	63	ralimdvva 3092	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
65		isdomn5 39834	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
66	64, 65	syl6ibr 255	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
67	66	imdistani 572	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
68	2, 3, 25	isdomn 20286	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
69	67, 68	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → 𝑅 ∈ Domn)
70	46, 69	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3850  {csn 4527  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  ._rcmulr 16750  0_gc0g 16898  Grpcgrp 18319  -_gcsg 18321  Ringcrg 19516  NzRingcnzr 20249  Domncdomn 20272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-plusg 16762  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-nzr 20250  df-domn 20276

This theorem is referenced by: (None)