Theorem isdomn4 40172

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   · ,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isdomn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20566	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		isdomn4.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isdomn4.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
5		domnring 20567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		eldifi 4061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ∈ 𝐵)
8	7	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
10		simpr2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
11		simpr3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
12	2, 3, 4, 6, 9, 10, 11	ringsubdi 19838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)))
13	12	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 ↔ ((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ))
14		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
15	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		eldifsni 4723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑎 ≠ 0 )
17	16	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ≠ 0 )
18	17	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → 𝑎 ≠ 0 )
19	5	ringgrpd 19792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Grp)
20	2, 4	grpsubcl 18655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
21	19, 20	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
22	21	3adant3r1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵)
24		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )
25		isdomn4.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26	2, 3, 25	domnmuln0 20569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ≠ 0 ) ∧ ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 )) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
27	14, 15, 18, 23, 24, 26	syl122anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 ) → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 )
28	27	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) ≠ 0 → (𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) ≠ 0 ))
29	28	necon4d 2967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · (𝑏(-g‘𝑅)𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
30	13, 29	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 → (𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ))
31	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
32		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
33	2, 3	ringcl 19800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
34	5, 7, 32, 33	syl3an 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
35	34	3adant3r3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
36		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
37	2, 3	ringcl 19800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
38	5, 7, 36, 37	syl3an 1159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
39	38	3adant3r2 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵)
40	2, 25, 4	grpsubeq0 18661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 · 𝑐) ∈ 𝐵) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
41	31, 35, 39, 40	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏)(-g‘𝑅)(𝑎 · 𝑐)) = 0 ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐)))
42	2, 25, 4	grpsubeq0 18661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
43	31, 10, 11, 42	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑏(-g‘𝑅)𝑐) = 0 ↔ 𝑏 = 𝑐))
44	30, 41, 43	3imtr3d 293	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
45	44	ralrimivvva 3127	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
46	1, 45	jca 512	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
47		nzrring 20532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
48	47	ringgrpd 19792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Grp)
49	2, 25	grpidcl 18607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ∈ 𝐵)
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ 𝐵)
52		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑎 · 0 ))
53	52	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 )))
54		eqeq2 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑏 = 0 ))
55	53, 54	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
56	55	rspcv 3557	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
57	51, 56	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 )))
58	2, 3, 25	ringrz 19827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
59	47, 7, 58	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
60	59	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
61	60	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) ↔ (𝑎 · 𝑏) = 0 ))
62	61	imbi1d 342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 0 ) → 𝑏 = 0 ) ↔ ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
63	57, 62	sylibd 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
64	63	ralimdvva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 )))
65		isdomn5 40171	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 )) ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → 𝑏 = 0 ))
66	64, 65	syl6ibr 251	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
67	66	imdistani 569	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
68	2, 3, 25	isdomn 20565	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = 0 → (𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ))))
69	67, 68	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)) → 𝑅 ∈ Domn)
70	46, 69	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  Ringcrg 19783  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-nzr 20529  df-domn 20555

This theorem is referenced by: (None)