MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnrrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnrrg 20714
Description: In a domain, a nonzero element is a regular element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn2.t 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
isdomn2.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
domnrrg ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋𝐸)

Proof of Theorem domnrrg
StepHypRef Expression
1 isdomn2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 isdomn2.t . . . . 5 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3 isdomn2.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdomn2 20712 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))
54simprbi 496 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸)
653ad2ant1 1133 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸)
7 simp2 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋𝐵)
8 simp3 1138 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋0 )
9 eldifsn 4785 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐵𝑋0 ))
107, 8, 9sylanbrc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
116, 10sseldd 3983 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  cfv 6560  Basecbs 17248  0gc0g 17485  NzRingcnzr 20513  RLRegcrlreg 20692  Domncdomn 20693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-rlreg 20695  df-domn 20696
This theorem is referenced by:  deg1ldgdomn  26134  deg1mul  26155  ply1unit  33601  m1pmeq  33609  r1pid2OLD  33630  assafld  33689
  Copyright terms: Public domain W3C validator