Theorem domnrrg 21116

Description: In a domain, any nonzero element is a nonzero-divisor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn2.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
isdomn2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
domnrrg	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐸)

Proof of Theorem domnrrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdomn2.t	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3		isdomn2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn2 21115	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))
5	4	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸)
6	5	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸)
7		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
9		eldifsn 4790	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
10	7, 8, 9	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
11	6, 10	sseldd 3983	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  NzRingcnzr 20403  RLRegcrlreg 21095  Domncdomn 21096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-rlreg 21099  df-domn 21100

This theorem is referenced by:  deg1ldgdomn  25836  r1pid2  32942