Theorem ssdmral 39311

Description: Subclass of a domain. (Contributed by Peter Mazsa, 15-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmral	⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ssdmral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3920	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅)
2		eldmg 5880	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦))
3	2	elv 3456	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
4	3	ralbii 3109	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
5	1, 4	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-dm 5661

This theorem is used by:  dmsucmap  39400