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Theorem 2eu6 2289
Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. (Contributed by NM, 2-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
2eu6
Distinct variable groups:   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem 2eu6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2eu4 2287 . 2
2 nfv 1619 . . . . . 6  F/
3 nfv 1619 . . . . . 6  F/
4 nfs1v 2106 . . . . . 6  F/
5 nfs1v 2106 . . . . . . 7  F/
65nfsb 2109 . . . . . 6  F/
7 sbequ12 1919 . . . . . . 7
8 sbequ12 1919 . . . . . . 7
97, 8sylan9bbr 681 . . . . . 6
102, 3, 4, 6, 9cbvex2 2005 . . . . 5
11 equequ2 1686 . . . . . . . . . 10
12 equequ2 1686 . . . . . . . . . 10
1311, 12bi2anan9 843 . . . . . . . . 9
1413imbi2d 307 . . . . . . . 8
15142albidv 1627 . . . . . . 7
1615cbvex2v 2007 . . . . . 6
17 nfv 1619 . . . . . . . . 9  F/
18 nfv 1619 . . . . . . . . 9  F/
19 nfv 1619 . . . . . . . . . 10  F/
204, 19nfim 1813 . . . . . . . . 9  F/
21 nfv 1619 . . . . . . . . . 10  F/
226, 21nfim 1813 . . . . . . . . 9  F/
23 equequ1 1684 . . . . . . . . . . 11
24 equequ1 1684 . . . . . . . . . . 11
2523, 24bi2anan9 843 . . . . . . . . . 10
269, 25imbi12d 311 . . . . . . . . 9
2717, 18, 20, 22, 26cbval2 2004 . . . . . . . 8
28272exbii 1583 . . . . . . 7
29 2mo 2282 . . . . . . 7
3028, 29bitri 240 . . . . . 6
3116, 30bitri 240 . . . . 5
32 19.29r2 1598 . . . . 5
3310, 31, 32syl2anb 465 . . . 4
34 2albiim 1612 . . . . . . 7
35 ancom 437 . . . . . . 7
3634, 35bitri 240 . . . . . 6
37362exbii 1583 . . . . 5
38 nfv 1619 . . . . . . . . . . . 12  F/
39 nfv 1619 . . . . . . . . . . . 12  F/
404nfsb 2109 . . . . . . . . . . . . . . 15  F/
4140nfsb 2109 . . . . . . . . . . . . . 14  F/
424, 41nfan 1824 . . . . . . . . . . . . 13  F/
4342, 19nfim 1813 . . . . . . . . . . . 12  F/
446nfsb 2109 . . . . . . . . . . . . . . 15  F/
4544nfsb 2109 . . . . . . . . . . . . . 14  F/
466, 45nfan 1824 . . . . . . . . . . . . 13  F/
4746, 21nfim 1813 . . . . . . . . . . . 12  F/
48 sbequ12 1919 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 sbequ12 1919 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5048, 49sylan9bbr 681 . . . . . . . . . . . . . . 15
513sbco2 2086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251sbbii 1653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 nfv 1619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F/
5453sbco2 2086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 sbcom2 2114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655sbbii 1653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5754, 56bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5852, 57bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . 15
5950, 58syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14
6059anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13
61 equequ2 1686 . . . . . . . . . . . . . 14
62 equequ2 1686 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . 13
6460, 63imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
6538, 39, 43, 47, 64cbval2 2004 . . . . . . . . . . 11
66 equcom 1680 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 equcom 1680 . . . . . . . . . . . . . . 15
6866, 67anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . 14
6968imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . 13
70 impexp 433 . . . . . . . . . . . . 13
7169, 70bitri 240 . . . . . . . . . . . 12
72712albii 1567 . . . . . . . . . . 11
7365, 72bitr3i 242 . . . . . . . . . 10
744, 619.21-2 1864 . . . . . . . . . 10
7573, 74bitri 240 . . . . . . . . 9
7675anbi2i 675 . . . . . . . 8
77 abai 770 . . . . . . . 8
7876, 77bitr4i 243 . . . . . . 7
79 2sb6 2113 . . . . . . . 8
8079anbi1i 676 . . . . . . 7
8178, 80bitri 240 . . . . . 6
82812exbii 1583 . . . . 5
8337, 82bitr4i 243 . . . 4
8433, 83sylibr 203 . . 3
85 bi2 189 . . . . . . 7
86852alimi 1560 . . . . . 6
87862eximi 1577 . . . . 5
88 2exsb 2132 . . . . 5
8987, 88sylibr 203 . . . 4
90 bi1 178 . . . . . 6
91902alimi 1560 . . . . 5
92912eximi 1577 . . . 4
9389, 92jca 518 . . 3
9484, 93impbii 180 . 2
951, 94bitri 240 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1540  wex 1541   wceq 1642  wsb 1648  weu 2204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208
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