Theorem sbcnestgf 3184

Description: Nest the composition of two substitutions. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sbcnestgf	⊢ ((A ∈ V ∧ ∀yℲxφ) → ([̣A / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[A / x]B / y]̣φ))

Proof of Theorem sbcnestgf

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsbcq 3049	. . . . 5 ⊢ (z = A → ([̣z / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣A / x]̣[̣B / y]̣φ))
2		csbeq1 3140	. . . . . 6 ⊢ (z = A → [z / x]B = [A / x]B)
3		dfsbcq 3049	. . . . . 6 ⊢ ([z / x]B = [A / x]B → ([̣[z / x]B / y]̣φ ↔ [̣[A / x]B / y]̣φ))
4	2, 3	syl 15	. . . . 5 ⊢ (z = A → ([̣[z / x]B / y]̣φ ↔ [̣[A / x]B / y]̣φ))
5	1, 4	bibi12d 312	. . . 4 ⊢ (z = A → (([̣z / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[z / x]B / y]̣φ) ↔ ([̣A / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[A / x]B / y]̣φ)))
6	5	imbi2d 307	. . 3 ⊢ (z = A → ((∀yℲxφ → ([̣z / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[z / x]B / y]̣φ)) ↔ (∀yℲxφ → ([̣A / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[A / x]B / y]̣φ))))
7		vex 2863	. . . . 5 ⊢ z ∈ V
8	7	a1i 10	. . . 4 ⊢ (∀yℲxφ → z ∈ V)
9		csbeq1a 3145	. . . . . 6 ⊢ (x = z → B = [z / x]B)
10		dfsbcq 3049	. . . . . 6 ⊢ (B = [z / x]B → ([̣B / y]̣φ ↔ [̣[z / x]B / y]̣φ))
11	9, 10	syl 15	. . . . 5 ⊢ (x = z → ([̣B / y]̣φ ↔ [̣[z / x]B / y]̣φ))
12	11	adantl 452	. . . 4 ⊢ ((∀yℲxφ ∧ x = z) → ([̣B / y]̣φ ↔ [̣[z / x]B / y]̣φ))
13		nfnf1 1790	. . . . 5 ⊢ ℲxℲxφ
14	13	nfal 1842	. . . 4 ⊢ Ⅎx∀yℲxφ
15		nfa1 1788	. . . . 5 ⊢ Ⅎy∀yℲxφ
16		nfcsb1v 3169	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx[z / x]B
17	16	a1i 10	. . . . 5 ⊢ (∀yℲxφ → Ⅎx[z / x]B)
18		sp 1747	. . . . 5 ⊢ (∀yℲxφ → Ⅎxφ)
19	15, 17, 18	nfsbcd 3067	. . . 4 ⊢ (∀yℲxφ → Ⅎx[̣[z / x]B / y]̣φ)
20	8, 12, 14, 19	sbciedf 3082	. . 3 ⊢ (∀yℲxφ → ([̣z / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[z / x]B / y]̣φ))
21	6, 20	vtoclg 2915	. 2 ⊢ (A ∈ V → (∀yℲxφ → ([̣A / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[A / x]B / y]̣φ)))
22	21	imp 418	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ ∀yℲxφ) → ([̣A / x]̣[̣B / y]̣φ ↔ [̣[A / x]B / y]̣φ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  Ⅎwnf 1544   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Ⅎwnfc 2477  Vcvv 2860  [̣wsbc 3047  [csb 3137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138

This theorem is used by:  csbnestgf  3185  sbcnestg  3186