Theorem uniun 3911

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
uniun	⊢ ∪(A ∪ B) = (∪A ∪ ∪B)

Proof of Theorem uniun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1605	. . . 4 ⊢ (∃y((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B)))
2		elun 3221	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (A ∪ B) ↔ (y ∈ A ∨ y ∈ B))
3	2	anbi2i 675	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ (x ∈ y ∧ (y ∈ A ∨ y ∈ B)))
4		andi 837	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ∧ (y ∈ A ∨ y ∈ B)) ↔ ((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
5	3, 4	bitri 240	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ ((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
6	5	exbii 1582	. . . 4 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ ∃y((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
7		eluni 3895	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪A ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A))
8		eluni 3895	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪B ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B))
9	7, 8	orbi12i 507	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ∪A ∨ x ∈ ∪B) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B)))
10	1, 6, 9	3bitr4i 268	. . 3 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ (x ∈ ∪A ∨ x ∈ ∪B))
11		eluni 3895	. . 3 ⊢ (x ∈ ∪(A ∪ B) ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)))
12		elun 3221	. . 3 ⊢ (x ∈ (∪A ∪ ∪B) ↔ (x ∈ ∪A ∨ x ∈ ∪B))
13	10, 11, 12	3bitr4i 268	. 2 ⊢ (x ∈ ∪(A ∪ B) ↔ x ∈ (∪A ∪ ∪B))
14	13	eqriv 2350	1 ⊢ ∪(A ∪ B) = (∪A ∪ ∪B)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ∪ cun 3208  ∪cuni 3892

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-un 3215  df-uni 3893

This theorem is used by:  pw1equn  4332  pw1eqadj  4333  nnadjoin  4521  fvun  5379