Theorem hashdvds 11897

Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdvds.1	|- ( ph -> N e. NN )
hashdvds.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
hashdvds.3	|- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) )
hashdvds.4	|- ( ph -> C e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashdvds	|- ( ph -> (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem hashdvds

Dummy variables a y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9081	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		hashdvds.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) )
3		eluzelz 9335	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) -> B e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ZZ )
5		hashdvds.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ZZ )
6	4, 5	zsubcld 9178	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - C ) e. ZZ )
7		hashdvds.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
8		znq 9416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B - C ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( B - C ) / N ) e. QQ )
9	6, 7, 8	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - C ) / N ) e. QQ )
10	9	flqcld 10050	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ )
11		hashdvds.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
12		peano2zm 9092	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. ZZ )
14	13, 5	zsubcld 9178	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) e. ZZ )
15		znq 9416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ )
16	14, 7, 15	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ )
17	16	flqcld 10050	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ )
18	10, 17	zsubcld 9178	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. ZZ )
19		fzen 9823	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) )
20	1, 18, 17, 19	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) )
21		ax-1cn 7713	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
22	17	zcnd 9174	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. CC )
23		addcom 7899	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) )
24	21, 22, 23	sylancr 410	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) )
25	10	zcnd 9174	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. CC )
26	25, 22	npcand 8077	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
27	24, 26	oveq12d 5792	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
28	20, 27	breqtrd 3954	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
29	17	peano2zd 9176	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ )
30	29, 10	fzfigd 10204	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) e. Fin )
31	30	elexd 2699	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) e. _V )
32	11, 4	fzfigd 10204	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ... B ) e. Fin )
33		elfzelz 9806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( A ... B ) -> a e. ZZ )
34	33	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> a e. ZZ )
35	5	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> C e. ZZ )
36	34, 35	zsubcld 9178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> ( a - C ) e. ZZ )
37		dvdsdc 11501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( a - C ) e. ZZ ) -> DECID N || ( a - C ) )
38	7, 36, 37	syl2an2r 584	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( A ... B ) ) -> DECID N || ( a - C ) )
39	38	ralrimiva 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. a e. ( A ... B )DECID N || ( a - C ) )
40		oveq1 5781	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( x - C ) = ( a - C ) )
41	40	breq2d 3941	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( a - C ) ) )
42	41	dcbid 823	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> (DECID N || ( x - C ) <-> DECID N || ( a - C ) ) )
43	42	cbvralv 2654	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( A ... B )DECID N || ( x - C ) <-> A. a e. ( A ... B )DECID N || ( a - C ) )
44	39, 43	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( A ... B )DECID N || ( x - C ) )
45	32, 44	ssfirab 6822	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. Fin )
46	45	elexd 2699	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. _V )
47		elfzle1 9807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z )
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z )
49		elfzelz 9806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> z e. ZZ )
50		zltp1le 9108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z ) )
51	17, 49, 50	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z ) )
52	48, 51	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z )
53		flqlt 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z ) )
54	16, 49, 53	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z ) )
55	52, 54	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z )
56	14	zred 9173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
58	49	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. ZZ )
59	58	zred 9173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. RR )
60	7	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
61	7	nngt0d 8764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < N )
62	60, 61	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
63	62	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
64		ltdivmul2 8636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ z e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) ) )
65	57, 59, 63, 64	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) ) )
66	55, 65	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) )
67	13	zred 9173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. RR )
68	67	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A - 1 ) e. RR )
69	5	zred 9173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. RR )
71	7	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
73	58, 72	zmulcld 9179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. ZZ )
74	73	zred 9173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. RR )
75	68, 70, 74	ltsubaddd 8303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
76	66, 75	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) )
77	5	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. ZZ )
78	73, 77	zaddcld 9177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ )
79		zlem1lt 9110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ ) -> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
80	11, 78, 79	syl2an2r 584	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
81	76, 80	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> A <_ ( ( z x. N ) + C ) )
82		elfzle2 9808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
83	82	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
84		flqge 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B - C ) / N ) e. QQ /\ z e. ZZ ) -> ( z <_ ( ( B - C ) / N ) <-> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
85	9, 49, 84	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z <_ ( ( B - C ) / N ) <-> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
86	83, 85	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z <_ ( ( B - C ) / N ) )
87	6	zred 9173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B - C ) e. RR )
88	87	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( B - C ) e. RR )
89		lemuldiv 8639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( z x. N ) <_ ( B - C ) <-> z <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
90	59, 88, 63, 89	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) <_ ( B - C ) <-> z <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
91	86, 90	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) <_ ( B - C ) )
92	4	zred 9173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
93	92	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> B e. RR )
94		leaddsub 8200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z x. N ) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) <_ B <-> ( z x. N ) <_ ( B - C ) ) )
95	74, 70, 93, 94	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) <_ B <-> ( z x. N ) <_ ( B - C ) ) )
96	91, 95	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) <_ B )
97	11	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> A e. ZZ )
98	4	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> B e. ZZ )
99		elfz 9796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) <-> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) /\ ( ( z x. N ) + C ) <_ B ) ) )
100	78, 97, 98, 99	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) <-> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) /\ ( ( z x. N ) + C ) <_ B ) ) )
101	81, 96, 100	mpbir2and 928	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) )
102		dvdsmul2 11516	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( z x. N ) )
103	58, 72, 102	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N || ( z x. N ) )
104	73	zcnd 9174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. CC )
105	5	zcnd 9174	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
106	105	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. CC )
107	104, 106	pncand 8074	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) = ( z x. N ) )
108	103, 107	breqtrrd 3956	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) )
109		oveq1 5781	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( z x. N ) + C ) -> ( x - C ) = ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) )
110	109	breq2d 3941	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( z x. N ) + C ) -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) ) )
111	110	elrab 2840	. . . . . . 7 |- ( ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } <-> ( ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) /\ N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) ) )
112	101, 108, 111	sylanbrc 413	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
113	112	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
114		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x - C ) = ( y - C ) )
115	114	breq2d 3941	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( y - C ) ) )
116	115	elrab 2840	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } <-> ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) )
117	67	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A - 1 ) e. RR )
118		elfzelz 9806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( A ... B ) -> y e. ZZ )
119	118	ad2antrl 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. ZZ )
120	119	zred 9173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. RR )
121	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> C e. RR )
122		elfzle1 9807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( A ... B ) -> A <_ y )
123	122	ad2antrl 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> A <_ y )
124		zlem1lt 9110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A <_ y <-> ( A - 1 ) < y ) )
125	11, 119, 124	syl2an2r 584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A <_ y <-> ( A - 1 ) < y ) )
126	123, 125	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A - 1 ) < y )
127	117, 120, 121, 126	ltsub1dd 8319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) )
128	56	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
129	5	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> C e. ZZ )
130	119, 129	zsubcld 9178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. ZZ )
131	130	zred 9173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. RR )
132	62	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
133		ltdiv1 8626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ ( y - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
134	128, 131, 132, 133	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
135	127, 134	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) )
136		simprr 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N || ( y - C ) )
137	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N e. ZZ )
138	7	nnne0d 8765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N =/= 0 )
139	138	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N =/= 0 )
140		dvdsval2 11496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ ( y - C ) e. ZZ ) -> ( N || ( y - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) )
141	137, 139, 130, 140	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( N || ( y - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) )
142	136, 141	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ )
143		flqlt 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
144	16, 142, 143	syl2an2r 584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
145	135, 144	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) )
146		zltp1le 9108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) ) )
147	17, 142, 146	syl2an2r 584	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) ) )
148	145, 147	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) )
149	92	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> B e. RR )
150		elfzle2 9808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( A ... B ) -> y <_ B )
151	150	ad2antrl 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y <_ B )
152	120, 149, 121, 151	lesub1dd 8323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) <_ ( B - C ) )
153	87	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( B - C ) e. RR )
154		lediv1 8627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y - C ) e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( y - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
155	131, 153, 132, 154	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
156	152, 155	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) )
157		flqge 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
158	9, 142, 157	syl2an2r 584	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
159	156, 158	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
160	29	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ )
161	10	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ )
162		elfz 9796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y - C ) / N ) e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) <-> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) /\ ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
163	142, 160, 161, 162	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) <-> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) /\ ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
164	148, 159, 163	mpbir2and 928	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
165	164	ex 114	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
166	116, 165	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
167	116	anbi2i 452	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) )
168	130	zcnd 9174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. CC )
169	168	adantrl 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( y - C ) e. CC )
170	58	zcnd 9174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. CC )
171	170	adantrr 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> z e. CC )
172	7	nncnd 8734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
173	172	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> N e. CC )
174	7	nnap0d 8766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N # 0 )
175	174	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> N # 0 )
176	169, 171, 173, 175	divmulap3d 8585	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) = z <-> ( y - C ) = ( z x. N ) ) )
177	119	zcnd 9174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. CC )
178	177	adantrl 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> y e. CC )
179	105	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> C e. CC )
180	104	adantrr 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. CC )
181	178, 179, 180	subadd2d 8092	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( y - C ) = ( z x. N ) <-> ( ( z x. N ) + C ) = y ) )
182	176, 181	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) = z <-> ( ( z x. N ) + C ) = y ) )
183		eqcom 2141	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) = z )
184		eqcom 2141	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z x. N ) + C ) <-> ( ( z x. N ) + C ) = y )
185	182, 183, 184	3bitr4g 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) )
186	167, 185	sylan2b 285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) )
187	186	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) ) )
188	31, 46, 113, 166, 187	en3d 6663	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
189		entr 6678	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
190	28, 188, 189	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
191	1, 18	fzfigd 10204	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) e. Fin )
192		hashen 10530	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) e. Fin /\ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
193	191, 45, 192	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
194	190, 193	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
195		eluzle 9338	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) -> ( A - 1 ) <_ B )
196	2, 195	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A - 1 ) <_ B )
197		zre 9058	. . . . . . . 8 |- ( ( A - 1 ) e. ZZ -> ( A - 1 ) e. RR )
198		zre 9058	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
199		zre 9058	. . . . . . . 8 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
200		lesub1 8218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
201	197, 198, 199, 200	syl3an 1258	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
202	13, 4, 5, 201	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
203	196, 202	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) )
204		lediv1 8627	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
205	56, 87, 62, 204	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
206	203, 205	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) )
207		flqword2 10062	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( B - C ) / N ) e. QQ /\ ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
208	16, 9, 206, 207	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
209		uznn0sub 9357	. . 3 |- ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. NN0 )
210		hashfz1 10529	. . 3 |- ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
211	208, 209, 210	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
212	194, 211	eqtr3d 2174	1 |- ( ph -> (♯ ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   {crab 2420   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ~~ cen 6632   Fincfn 6634   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   QQcq 9411   ...cfz 9790   |_cfl 10041  ♯chash 10521   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fl 10043  df-mod 10096  df-ihash 10522  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  phiprmpw  11898