Theorem 0bits 15788

Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0bits	⊢ (bits‘0) = ∅

Proof of Theorem 0bits

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10635	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2	1	snid 4601	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
3		fzo01 13120	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eleqtrri 2912	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
5		2cn 11713	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
6		exp0 13434	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑0) = 1
8	7	oveq2i 7167	. . . . 5 ⊢ (0..^(2↑0)) = (0..^1)
9	4, 8	eleqtrri 2912	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(2↑0))
10		0z 11993	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		0nn0 11913	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		bitsfzo 15784	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0)))
13	10, 11, 12	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(2↑0)) ↔ (bits‘0) ⊆ (0..^0))
14	9, 13	mpbi 232	. . 3 ⊢ (bits‘0) ⊆ (0..^0)
15		fzo0 13062	. . 3 ⊢ (0..^0) = ∅
16	14, 15	sseqtri 4003	. 2 ⊢ (bits‘0) ⊆ ∅
17		0ss 4350	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (bits‘0)
18	16, 17	eqssi 3983	1 ⊢ (bits‘0) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034  ↑cexp 13430  bitscbits 15768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-dvds 15608  df-bits 15771

This theorem is referenced by:  m1bits  15789  sadcadd  15807  sadadd2  15809  bitsres  15822  smumullem  15841  eulerpartgbij  31630  eulerpartlemmf  31633  eulerpartlemgvv  31634  eulerpartlemgh  31636