Theorem 0nn0m1nnn0 32375

Description: A number is zero if and only if it's a nonnegative integer that becomes negative after subtracting 1. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0m1nnn0	⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem 0nn0m1nnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11910	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eleq1 2899	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
3	1, 2	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn 11646	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		0mnnnnn0 11927	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → (0 − 1) ∉ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) ∉ ℕ0
7		oveq1 7160	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
8		neleq1 3127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) = (0 − 1) → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
10	6, 9	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) ∉ ℕ0)
11		df-nel 3123	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	3, 12	jca 514	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
14		nn0z 12003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		peano2zm 12023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17		elnn0z 11992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
18	17	notbii 322	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
19	18	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
20		annotanannot 832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
21	20	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
22	16, 19, 21	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
23		zre 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	14, 15, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		0red 10641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
26	24, 25	ltnled 10784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
27	26	biimprd 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
28	27	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
29	22, 28	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) < 0)
30		0z 11990	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		zlem1lt 12032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
32	14, 30, 31	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
33	32	biimprd 250	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
34	33	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
35	29, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
36		nn0ge0 11920	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
37	36	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
38		nn0re 11904	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38, 25	letri3d 10779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
40	39	biimprd 250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
41	40	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
42	35, 37, 41	mp2and 697	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 = 0)
43	13, 42	impbii 211	1 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3122   class class class wbr 5063  (class class class)co 7153  ℝcr 10533  0cc0 10534  1c1 10535   < clt 10672   ≤ cle 10673   − cmin 10867  ℕcn 11635  ℕ₀cn0 11895  ℤcz 11979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-n0 11896  df-z 11980

This theorem is referenced by:  pthhashvtx  32398