MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlem1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlem1lt 11373
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zlem1lt ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))

Proof of Theorem zlem1lt
StepHypRef Expression
1 peano2zm 11364 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2 zltp1le 11371 . . 3 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁))
31, 2sylan 488 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁))
4 zcn 11326 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 9938 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6 npcan 10234 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
74, 5, 6sylancl 693 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
87adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
98breq1d 4623 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 − 1) + 1) ≤ 𝑁𝑀𝑁))
103, 9bitr2d 269 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cz 11321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322
This theorem is referenced by:  nn0lem1lt  11386  nnlem1lt  11387  zbtwnre  11730  uzdisj  12354  nn0disj  12396  fzon  12430  ssfzo12  12502  ceile  12588  cshwidxn  13492  bitsfzolem  15080  bitscmp  15084  bitsinv1lem  15087  hashdvds  15404  logf1o2  24296  ang180lem3  24441  lgsquadlem1  25005  fzsplit3  29391  ballotlemfc0  30332  ballotlemfcc  30333  ballotlemimin  30345  ballotlemfrceq  30368  ballotlemfrcn0  30369  poimirlem23  33061  poimirlem24  33062  irrapxlem3  36865  hashnzfz2  37999  fzdifsuc2  38986  stoweidlem26  39547  fourierdlem12  39640  fzoopth  40631  nnsum3primesle9  40968  evengpop3  40972  zgtp1leeq  41596  m1modmmod  41601  nnolog2flm1  41673
  Copyright terms: Public domain W3C validator