Theorem 4fppr1 43974

Description: 4 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
4fppr1	⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Proof of Theorem 4fppr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12010	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		uzid 12252	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ≥‘4))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘4)
4		4nprm 16034	. . 3 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
5	4	nelir 3125	. 2 ⊢ 4 ∉ ℙ
6		4m1e3 11760	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
7	6	oveq2i 7160	. . . . 5 ⊢ (1↑(4 − 1)) = (1↑3)
8		3z 12009	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
9		1exp 13455	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑3) = 1
11	7, 10	eqtri 2843	. . . 4 ⊢ (1↑(4 − 1)) = 1
12	11	oveq1i 7159	. . 3 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = (1 mod 4)
13		4re 11715	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		1lt4 11807	. . . 4 ⊢ 1 < 4
15		1mod 13268	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 1 < 4) → (1 mod 4) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 690	. . 3 ⊢ (1 mod 4) = 1
17	12, 16	eqtri 2843	. 2 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1
18		1nn 11642	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fpprel 43967	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1)))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1))
21	3, 5, 17, 20	mpbir3an 1336	1 ⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3122   class class class wbr 5059  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℝcr 10529  1c1 10531   < clt 10668   − cmin 10863  ℕcn 11631  3c3 11687  4c4 11688  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237   mod cmo 13234  ↑cexp 13426  ℙcprime 16010   FPPr cfppr 43963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13427  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-prm 16011  df-fppr 43964

This theorem is referenced by: (None)