MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3z 11370
Description: 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
3z 3 ∈ ℤ

Proof of Theorem 3z
StepHypRef Expression
1 3nn 11146 . 2 3 ∈ ℕ
21nnzi 11361 1 3 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  3c3 11031  cz 11337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-z 11338
This theorem is referenced by:  fz0to4untppr  12399  4fvwrd4  12416  fzo13pr  12509  fzo0to3tp  12511  expnass  12926  sin01gt0  14864  3dvds  14995  3dvdsOLD  14996  3dvdsdec  14997  3dvdsdecOLD  14998  3dvds2dec  14999  3dvds2decOLD  15000  n2dvds3  15050  3lcm2e6woprm  15271  lcmf2a3a4e12  15303  3prm  15349  oddprmge3  15355  iblcnlem1  23494  dcubic1lem  24504  dcubic2  24505  dcubic  24507  cubic2  24509  cubic  24510  quart  24522  ppiublem1  24861  ppiublem2  24862  ppiub  24863  chtub  24871  bposlem4  24946  bposlem5  24947  bposlem8  24950  lgsdir2lem5  24988  2lgsoddprmlem3  25073  dchrvmasumiflem1  25124  mulog2sumlem2  25158  pntlemo  25230  pntlem3  25232  pntleml  25234  istrkg3ld  25294  axlowdimlem7  25762  axlowdimlem16  25771  axlowdimlem17  25772  usgrexmplef  26078  wlk2v2e  26917  ex-bc  27197  ex-dvds  27201  ex-gcd  27202  ex-ind-dvds  27206  jm2.23  37082  jm2.20nn  37083  inductionexd  37974  lhe4.4ex1a  38049  wallispilem4  39622  smfmullem2  40336  smfmullem4  40338  fmtnoge3  40771  fmtnoprmfac2lem1  40807  31prm  40841  lighneallem4b  40855  41prothprmlem2  40864  41prothprm  40865  6even  40949  sgoldbalt  40994  nnsum3primesle9  41001  nnsum4primesodd  41003  nnsum4primesoddALTV  41004  nnsum4primeseven  41007  nnsum4primesevenALTV  41008  linevalexample  41502  zlmodzxzequa  41603  zlmodzxznm  41604  zlmodzxzequap  41606  zlmodzxzldeplem3  41609  zlmodzxzldep  41611  ldepsnlinclem2  41613  ldepsnlinc  41615
  Copyright terms: Public domain W3C validator