MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1exp 12702
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9887 . . . 4 1 ∈ V
21snid 4150 . . 3 1 ∈ {1}
3 ax-1ne0 9857 . . 3 1 ≠ 0
4 ax-1cn 9846 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 snssi 4275 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {1} ⊆ ℂ
7 elsni 4137 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8 elsni 4137 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9 oveq12 6532 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10 1t1e1 11018 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
119, 10syl6eq 2655 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
127, 8, 11syl2an 492 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13 ovex 6551 . . . . . 6 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
1413elsn 4135 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1)
1512, 14sylibr 222 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
167oveq2d 6539 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
17 1div1e1 10562 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
1816, 17syl6eq 2655 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
19 ovex 6551 . . . . . . 7 (1 / 𝑥) ∈ V
2019elsn 4135 . . . . . 6 ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1)
2118, 20sylibr 222 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2221adantr 479 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
236, 15, 2, 22expcl2lem 12685 . . 3 ((1 ∈ {1} ∧ 1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
242, 3, 23mp3an12 1405 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
25 elsni 4137 . 2 ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
2624, 25syl 17 1 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wss 3535  {csn 4120  (class class class)co 6523  cc 9786  0cc0 9788  1c1 9789   · cmul 9793   / cdiv 10529  cz 11206  cexp 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-seq 12615  df-exp 12674
This theorem is referenced by:  exprec  12714  sq1  12771  iexpcyc  12782  faclbnd4lem1  12893  iseraltlem2  14203  iseraltlem3  14204  binom1p  14344  binom11  14345  pwm1geoser  14381  esum  14592  ege2le3  14601  eirrlem  14713  odzdvds  15280  iblabsr  23315  iblmulc2  23316  abelthlem1  23902  abelthlem3  23904  abelthlem8  23910  abelthlem9  23911  ef2kpi  23947  root1cj  24210  cxpeq  24211  quart  24301  leibpi  24382  log2cnv  24384  mule1  24587  lgseisenlem1  24813  lgseisenlem4  24816  lgseisen  24817  lgsquadlem1  24818  lgsquad2lem1  24822  m1lgs  24826  dchrisum0flblem1  24910  subfaclim  30226  iblmulc2nc  32444  expdioph  36407  lhe4.4ex1a  37349  fprodexp  38461  stoweidlem7  38700  stirlinglem5  38771  stirlinglem7  38773  stirlinglem10  38776  pwm1geoserALT  39841  2pwp1prm  39842  m1expevenALTV  39899  altgsumbc  41921
  Copyright terms: Public domain W3C validator