Theorem 8exp8mod9 43950

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
8exp8mod9	⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Proof of Theorem 8exp8mod9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn 11736	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
2		8nn 11733	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		4nn0 11917	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		0z 11993	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn0 11914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 11915	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		7nn 11730	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12007	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9		8nn0 11921	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8cn 11735	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		exp1 13436	. . . . . . 7 ⊢ (8 ∈ ℂ → (8↑1) = 8)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (8↑1) = 8
13	12	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ ((8↑1) mod 9) = (8 mod 9)
14		2t1e2 11801	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
15		6nn0 11919	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
16		3nn0 11916	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17		3p1e4 11783	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
18		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ;63 = ;63
19	15, 16, 17, 18	decsuc 12130	. . . . . 6 ⊢ (;63 + 1) = ;64
20		9cn 11738	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
21		7cn 11732	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
22		9t7e63 12226	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 7) = ;63
23	20, 21, 22	mulcomli 10650	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 9) = ;63
24	23	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (;63 + 1)
25		8t8e64 12220	. . . . . 6 ⊢ (8 · 8) = ;64
26	19, 24, 25	3eqtr4i 2854	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 1) = (8 · 8)
27	1, 2, 5, 8, 9, 5, 13, 14, 26	mod2xi 16405	. . . 4 ⊢ ((8↑2) mod 9) = (1 mod 9)
28		2t2e4 11802	. . . 4 ⊢ (2 · 2) = 4
29		0p1e1 11760	. . . . 5 ⊢ (0 + 1) = 1
30	20	mul02i 10829	. . . . . 6 ⊢ (0 · 9) = 0
31	30	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (0 + 1)
32		1t1e1 11800	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
33	29, 31, 32	3eqtr4i 2854	. . . 4 ⊢ ((0 · 9) + 1) = (1 · 1)
34	1, 2, 6, 4, 5, 5, 27, 28, 33	mod2xi 16405	. . 3 ⊢ ((8↑4) mod 9) = (1 mod 9)
35		4cn 11723	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		2cn 11713	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		4t2e8 11806	. . . 4 ⊢ (4 · 2) = 8
38	35, 36, 37	mulcomli 10650	. . 3 ⊢ (2 · 4) = 8
39	1, 2, 3, 4, 5, 5, 34, 38, 33	mod2xi 16405	. 2 ⊢ ((8↑8) mod 9) = (1 mod 9)
40		1re 10641	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
41		nnrp 12401	. . . 4 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
42	1, 41	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ+
43		0le1 11163	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
44		1lt9 11844	. . 3 ⊢ 1 < 9
45		modid 13265	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 9)) → (1 mod 9) = 1)
46	40, 42, 43, 44, 45	mp4an 691	. 2 ⊢ (1 mod 9) = 1
47	39, 46	eqtri 2844	1 ⊢ ((8↑8) mod 9) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  6c6 11697  7c7 11698  8c8 11699  9c9 11700  ;cdc 12099  ℝ⁺crp 12390   mod cmo 13238  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  9fppr8  43951  nfermltl8rev  43956