Theorem absprodnn 15964

Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers not containing 0 is a poitive integer. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
absproddvds.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p	⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
absprodnn.z	⊢ (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
absprodnn	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑧)

Proof of Theorem absprodnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absproddvds.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
2		absproddvds.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
3		absproddvds.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
4	3	sselda 3969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
5	2, 4	fprodzcl 15310	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
6	4	zcnd 12091	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℂ)
7		absprodnn.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)
8		elnelne2 3136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
9	8	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ (0 ∉ 𝑍 → (𝑧 ∈ 𝑍 → 𝑧 ≠ 0))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑍 → 𝑧 ≠ 0))
11	10	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
12	2, 6, 11	fprodn0 15335	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ≠ 0)
13		nnabscl 14687	. . 3 ⊢ ((∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ≠ 0) → (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
14	5, 12, 13	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
15	1, 14	eqeltrid 2919	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∉ wnel 3125   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  Fincfn 8511  0cc0 10539  ℕcn 11640  ℤcz 11984  abscabs 14595  ∏cprod 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262

This theorem is referenced by:  fissn0dvds  15965