MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absprodnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absprodnn 15250
Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers not containing 0 is a poitive integer. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
absproddvds.s (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f (𝜑𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p 𝑃 = (abs‘∏𝑧𝑍 𝑧)
absprodnn.z (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
absprodnn (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑧)

Proof of Theorem absprodnn
StepHypRef Expression
1 absproddvds.p . 2 𝑃 = (abs‘∏𝑧𝑍 𝑧)
2 absproddvds.f . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
3 absproddvds.s . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
43sselda 3588 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
52, 4fprodzcl 14604 . . 3 (𝜑 → ∏𝑧𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
64zcnd 11427 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑍) → 𝑧 ∈ ℂ)
7 absprodnn.z . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∉ 𝑍)
8 elnelne2 2910 . . . . . . 7 ((𝑧𝑍 ∧ 0 ∉ 𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
98expcom 451 . . . . . 6 (0 ∉ 𝑍 → (𝑧𝑍𝑧 ≠ 0))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝑍𝑧 ≠ 0))
1110imp 445 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑍) → 𝑧 ≠ 0)
122, 6, 11fprodn0 14629 . . 3 (𝜑 → ∏𝑧𝑍 𝑧 ≠ 0)
13 nnabscl 13994 . . 3 ((∏𝑧𝑍 𝑧 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧𝑍 𝑧 ≠ 0) → (abs‘∏𝑧𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
145, 12, 13syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (abs‘∏𝑧𝑍 𝑧) ∈ ℕ)
151, 14syl5eqel 2708 1 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wnel 2899  wss 3560  cfv 5850  Fincfn 7900  0cc0 9881  cn 10965  cz 11322  abscabs 13903  cprod 14555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-prod 14556
This theorem is referenced by:  fissn0dvds  15251
  Copyright terms: Public domain W3C validator