Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemsdom 30378
 Description: Domain of 𝑆 for a given counting 𝐶. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
Assertion
Ref Expression
ballotlemsdom ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemsdom
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . 3 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . 3 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . 3 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9 ballotth.s . . 3 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 30376 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽), 𝐽))
11 fzssuz 12332 . . . . . . . 8 (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ (ℤ‘1)
12 uzssz 11659 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
1311, 12sstri 3596 . . . . . . 7 (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 30368 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1514simpld 475 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
1613, 15sseldi 3585 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
1716ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
18 nnaddcl 10994 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
191, 2, 18mp2an 707 . . . . . . 7 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
2019nnzi 11353 . . . . . 6 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
2120a1i 11 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
2215ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
23 elfzle2 12295 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
25 eluz2 11645 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝐼𝐶)) ↔ ((𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
26 fzss2 12331 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝐼𝐶)) → (1...(𝐼𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
2725, 26sylbir 225 . . . . 5 (((𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (1...(𝐼𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
2817, 21, 24, 27syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (1...(𝐼𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
29 1zzd 11360 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → 1 ∈ ℤ)
30 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3113, 30sseldi 3585 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
32 elfzle1 12294 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 1 ≤ 𝐽)
3330, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → 1 ≤ 𝐽)
34 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → 𝐽 ≤ (𝐼𝐶))
35 elfz4 12285 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝐽𝐽 ≤ (𝐼𝐶))) → 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶)))
3629, 17, 31, 33, 34, 35syl32anc 1331 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → 𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶)))
37 fzrev3i 12357 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...(𝐼𝐶)) → ((1 + (𝐼𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
3836, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → ((1 + (𝐼𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
39 1cnd 10008 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℂ)
4016zcnd 11435 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℂ)
4139, 40addcomd 10190 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 + (𝐼𝐶)) = ((𝐼𝐶) + 1))
4241oveq1d 6625 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((1 + (𝐼𝐶)) − 𝐽) = (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽))
4342eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((1 + (𝐼𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶)) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶))))
4443ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (((1 + (𝐼𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶)) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶))))
4538, 44mpbid 222 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
4628, 45sseldd 3588 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
47 simplr 791 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ ¬ 𝐽 ≤ (𝐼𝐶)) → 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
4846, 47ifclda 4097 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → if(𝐽 ≤ (𝐼𝐶), (((𝐼𝐶) + 1) − 𝐽), 𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
4910, 48eqeltrd 2698 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   ∖ cdif 3556   ∩ cin 3558   ⊆ wss 3559  ifcif 4063  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  infcinf 8299  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026   ≤ cle 10027   − cmin 10218   / cdiv 10636  ℕcn 10972  ℤcz 11329  ℤ≥cuz 11639  ...cfz 12276  #chash 13065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-hash 13066 This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  30379  ballotlemsf1o  30380  ballotlemfrceq  30395  ballotlemfrcn0  30396
 Copyright terms: Public domain W3C validator